AI 中文总结
构造广义完全交 Calabi-Yau 三维流形 $X_+$ 的镜像族，通过环面 GIT 形变和翻折得到 $X_-$，并利用 Hori-Vafa 方程构造 Laurent 模型的紧化 $Y$，其周期系统与 $X_\pm$ 的上同调环一致，预测与垂直曲线计数相符。
AI 中文摘要
我们构造并分析广义完全交 Calabi-Yau 三维流形 $X_+=[\mathbb{P}^1\\,|\\,3\\ {-1};\\ \mathbb{P}^4\\,|\\,2\\ 3]$ 的镜像族，其中 $(h^{1,1},h^{2,1})=(2,46)$。通过辅助变量表示，负次数部分转化为环面 GIT 的形变。跨越一个壁翻折 16 条不相交的 $(-1,-1)$ 曲线，得到 Calabi-Yau 三维流形 $X_-$，它是环面 $\mathbb{Q}$-Fano 八维流形中的 nef 完全交，并带有指标 4 的亏格一纤维化。由于该环境空间不是 Gorenstein 的，Batyrev-Borisov 构造不适用。我们仅使用 Hori-Vafa 方程选取一个 2 参数 Laurent 族，并构造 Laurent 模型的光滑射影 crepant 紧化 $Y$，其 $(h^{1,1},h^{2,1})=(46,2)$；对于非常一般的参数，Mordell-Weil 群为 $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$。$Y$ 的周期满足秩 6 的 Picard-Fuchs 系统，具有两个极大无幂边界点，其指数代数同构于 $X_-$ 和 $X_+$ 的有理偶上同调环。所得的亏格零预测与亏格一纤维化 $X_-\to\mathbb{P}^2$ 上 176 条垂直直线和 100 条垂直圆锥曲线的独立计数一致。
英文摘要
We construct and analyze a mirror family for the generalized complete intersection Calabi-Yau threefold $X_+=[\mathbb{P}^1\,|\,3\ {-1};\ \mathbb{P}^4\,|\,2\ 3]$, with $(h^{1,1},h^{2,1})=(2,46)$. An auxiliary-variable presentation turns the negative-degree section into a variation of toric GIT. Crossing one wall flops 16 disjoint $(-1,-1)$-curves and yields a Calabi-Yau threefold $X_-$, a nef complete intersection in a toric $\mathbb{Q}$-Fano eightfold, which carries a genus-one fibration of index 4. Because this ambient space is not Gorenstein, the Batyrev-Borisov construction does not apply. We use the Hori-Vafa equations only to select a 2-parameter Laurent family, and construct a smooth projective crepant compactification $Y$ of the Laurent model with $(h^{1,1},h^{2,1})=(46,2)$; for very general parameters the Mordell-Weil group is $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$. The periods of $Y$ satisfy a rank-6 Picard-Fuchs system with two maximally unipotent boundary points, whose indicial algebras are isomorphic to the rational even cohomology rings of $X_-$ and $X_+$. The resulting genus-zero predictions agree with independent counts of 176 vertical lines and 100 vertical conics on the genus-one fibration $X_-\to\mathbb{P}^2$.
