AI 中文总结
本文构造了一个 Hardy 空间上的有界算子 T，将黎曼猜想等价地转化为不变子空间问题：若 N 的闭包是 T 不变的，则 RH 成立或存在无限 ζ 零点等差数列。
AI 中文摘要
在文献[7]中，引入了针对黎曼猜想（RH）的 Nyman-Beurling 和 Báez-Duarte 判据的 Hardy 空间方法。该方法指出，RH 成立当且仅当特定函数序列 $(h_k)_{k\geq2}$ 的张成空间，记为 $\mathcal{N}$，在 Hardy 空间 $H^2$ 中是稠密的。在本注记中，我们构造了一个在 $H^2$ 上的有界算子 $T$，使得如果 $\mathcal{N}$ 的闭包是 $T$-不变的，那么要么 RH 成立，要么存在一个无限的 ζ 零点等差数列。特别地，这为黎曼猜想提供了一个算子理论判据，将其转化为一个不变子空间问题。
英文摘要
A Hardy space approach to the Nyman-Beurling and Báez-Duarte criterion for the Riemann Hypothesis (RH) was introduced in [7]. It states that the RH holds if and only if the span of a particular sequence of functions $(h_k)_{k\geq2}$, denoted $\mathcal{N}$, is dense in the Hardy space $H^2$. In this note we construct a bounded operator $T$ on $H^{2}$ such that if the closure of $\mathcal{N}$ is $T$-invariant, then either the RH holds or there exists an infinite progression of $ζ$-zeros. In particular, this yields an operator-theoretic criterion for the Riemann hypothesis as an invariant subspace question.
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