发表机构
Department of Mathematics, Shantou University; Institute of Mathematics, Academy of Mathematics and System Science, CAS; School of Mathematics and Statistics, Huazhong University of Science and Technology（汕头大学数学系; 中国科学院数学与系统科学研究院数学研究所; 华中科技大学数学与统计学院）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文建立了所有维度（含非齐次情形）下精确可逼近矩阵的Hausdorff维数公式，通过平均计数论证量化有理向量与子空间分布，得到维数表达式 $m(n-1)+\frac{m+n}{1+\tau_\psi}$。
AI 中文摘要
我们建立了所有维度下精确可逼近矩阵的Hausdorff维数，包括非齐次情形。更精确地，设 $\psi:\N\to(0,\infty)$ 为非增逼近函数，并设 $\tau_\psi$ 表示其下阶。对于 $m,n\ge1$ 和 $\boldsymbol\theta\in\mathbb R^m$，记 $\Exact_{m,n}(\psi,\boldsymbol\theta)$ 为满足以下条件的 $m\times n$ 矩阵集合：这些矩阵关于平移 $\boldsymbol\theta$ 是 $\psi$-可逼近的，但对任意 $0<c<1$ 都不是 $c\psi$-可逼近的。我们证明了 \\[ \hdim \Exact_{m,n}(\psi,\boldsymbol\theta)=m(n-1)+\frac{m+n}{1+\tau_\psi},\\ \\ \\ {\text{对于}}\\ \tau_\psi>\frac{n}{m}. \\] 我们采用概率论的观点，即通过平均计数论证来量化有理向量和子空间 \\[\left\{\frac{\mathbf p+\boldsymbol\theta}{q}: (\mathbf p, q)\in \mathbb{Z}^{m+1}\right\},\\ \\ \\ \bigg\{\big\{A\in \Mat_{m, n}(\R): A\mathbf q-\mathbf p-\boldsymbol\theta=0\big\}: (\mathbf p, \mathbf q)\in \mathbb{Z}^{m+n}\bigg\}\\] 的分布。
英文摘要
We establish the Hausdorff dimension for exactly approximable matrices for all dimensions, including the inhomogeneous case. More precisely, let $ψ:\N\to(0,\infty)$ be a non-increasing approximation function and let $τ_ψ$ denote its lower order. For $m,n\ge1$ and $\boldsymbolθ\in\mathbb R^m$, denote $\Exact_{m,n}(ψ,\boldsymbolθ)$ the set of $m\times n$ matrices that are $ψ$-approximable with shift $\boldsymbolθ$, but are not $cψ$-approximable for any $0<c<1$. It is shown that \[ \hdim \Exact_{m,n}(ψ,\boldsymbolθ)=m(n-1)+\frac{m+n}{1+τ_ψ},\ \ \ {\text{for}}\ τ_ψ>\frac{n}{m}. \] We adopt a probabilistic viewpoint, i.e. by an averaged counting argument to quantify the distribution of rational vectors and subspaces $$\left\{\frac{\mathbf p+\boldsymbolθ}{q}: (\mathbf p, q)\in \mathbb{Z}^{m+1}\right\},\ \ \ \bigg\{\big\{A\in \Mat_{m, n}(\R): A\mathbf q-\mathbf p-\boldsymbolθ=0\big\}: (\mathbf p, \mathbf q)\in \mathbb{Z}^{m+n}\bigg\}.$$
