PG(n,4) 中 $4$-一般集合的爬升问题
The climb problem for $4$-general sets in PG(n,4)
- Department of Basic Science, Air Force Engineering University（空军工程大学基础部）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
AI总结：
本文研究 PG(n,q) 中 4-一般集合的最大规模爬升问题，通过码表归约证明 Pavese 构造在 n=3,4（q=4）及 n=4（q=5）最优，并给出 n=5 时的区间界及刚性结果。
AI中文摘要：
PG(n,q) 的一个 $4$-一般集合是没有四点共面的点集，Mb{n}{q} 是这种集合的最大规模。爬升问题询问，在每个 $n$ 处，Pavese (2025) 的构造是否可以通过增加一个点来改进。我们证明答案由码表决定：$PG(M-1,q)$ 包含一个 $N$ 点的 $4$-一般集合，当且仅当存在一个射影 $[N,N-M,\ge 5]_q$ 码。在 $F_4$ 上，这解决了前两个梯级：Mb{3}{4}=5 和 Mb{4}{4}=11，每个都有两个独立的证明，因此 Pavese 的构造在这两个梯级上都是最优的。在 $F_5$ 上，同样的归约给出 Mb{4}{5}=12，比近 MDS 下界多一个。在 $n=5$ 时，码表不再提供信息；我们陈述已验证的位置 $21\le Mb{5}{4}\le 30$，而不是表中列出的 $\le 29$，后者依赖于私人通信。任何 $22$ 点的 $PG(5,4)$ 的 $4$-一般集合（如果存在）与 Pavese 的极值 $21$ 点集合至多共享 $12$ 个点；这一刚性陈述的证明是有限计算，证书在附录 A 中。
英文摘要：
A $4$-general set of PG(n,q) is a point set with no four coplanar,and Mb{n}{q} is the largest such size. The climb problem asks, at each $n$, whether the constructions of Pavese (2025) can be improved by one point. We show that the answer is governed by the code tables: $PG(M-1,q)$ contains an $N$-point $4$-general set exactly when a projective $[N,N-M,\ge 5]_q$ code exists. Over $F_4$ this settles the first two rungs: Mb{3}{4}=5 and Mb{4}{4}=11, each with two independent proofs, so Pavese's constructions are optimal at both. Over $F_5$ the same reduction gives Mb{4}{5}=12, one more than the near-MDS lower bound. At $n=5$ the tables fall silent; we state the verified position $21\le Mb{5}{4}\le 30$ rather than the tabulated $\le 29$, which rests on a private communication. Any $22$-point $4$-general set of $PG(5,4)$, if one exists, shares at most $12$ points with Pavese's extremal $21$-point set; the proof of this rigidity statement is a finite computation, with certificates in Appendix~A.
