AI 中文总结
本文证明了周期介质中Monge-Ampère方程解的定量均匀化收敛速率，在最优正则性条件下达到最优指数，并推广到局部加权周期Borel测度。
AI 中文摘要
设 $u^\varepsilon$ 和 $u$ 是有界凸域 $\Omega$ 上具有相同Dirichlet边界的凸解，分别满足 $\det D^2u^\varepsilon=F(x,x/\varepsilon)$ 和 $\det D^2u=\overline F(x)$。这里，$F$ 在第二个变量上一致正且周期，$\overline F(x)=\int_{\mathbb T^n}F(x,y)\\,dy$。对于 $m=0,1$ 和 $0<\alpha\leq1$，我们证明 $\\|u^\varepsilon-u\\|_{L^\infty(\Omega)}\leq C\varepsilon^{m+\alpha}$ 对所有 $0<\varepsilon\leq1$ 成立，前提是 $u\in C^{m+2,\alpha}(\overline\Omega)$ 且 $F\in C_x^{m,\alpha}(\overline\Omega;C_y^{0,\gamma}(\mathbb T^n))$ 对某个 $0<\gamma<1$。两个指数在其各自的正则性尺度上都是最优的。我们还建立了局部加权周期Borel测度的 $O(\varepsilon^{\alpha})$ 速率，常数与微观测度的分布无关。
英文摘要
Let $u^\varepsilon$ and $u$ be the convex solutions of \[ \det D^2u^\varepsilon=F(x,x/\varepsilon),\qquad \det D^2u=\overline F(x) \] on a bounded convex domain $Ω$, with the same Dirichlet data. Here, $F$ is uniformly positive and periodic in its second variable, and $\overline F(x)=\int_{\mathbb T^n}F(x,y)\,dy$. For $m=0,1$ and $0<α\leq1$, we prove \[ \|u^\varepsilon-u\|_{L^\infty(Ω)}\leq C\varepsilon^{m+α},\qquad \forall\,0<\varepsilon\leq1, \] provided that $u\in C^{m+2,α}(\overlineΩ)$ and $F\in C_x^{m,α}(\overlineΩ;C_y^{0,γ}(\mathbb T^n))$ for some $0<γ<1$. Both exponents are optimal in their respective regularity scales. We also establish the $O(\varepsilon^α)$ rate for locally weighted periodic Borel measures, with constants independent of the distribution of the microscopic measure.
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