发表机构
Sun Yat-sen University; Chern Institute of Mathematics, LPMC and New Cornerstone Science Laboratory, Nankai University; Department of Mathematical Sciences and RIM, Seoul National University（中山大学; 南开大学陈省身数学研究所、LPMC和新 cornerstone 科学实验室; 首尔大学数学科学系和RIM）
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本文针对 $\mathbb R^n$ 中非退化曲线附近的有理点计数问题，利用 Gan--Maldague--Oh 的波包方法，对所有 $n\geq4$ 证明了尖锐的上界估计。
AI 中文摘要
我们为所有 $n\geq4$ 建立了 $\mathbb R^n$ 中紧致光滑非退化曲线附近有理点的尖锐界。对于 $\mathbb R^n$ 中的非退化曲线 $\mathcal C$，设 \\[ \mathcal R_{\mathcal C}(\delta,Q):=\\#\left\{(\mathbf p,q)\in\mathbb Z^n\times\mathbb N: 1\leq q\leq Q,\\ \operatorname{dist}(\mathbf p/q,\mathcal C)\leq\delta/q\right\}.\\] 我们证明 \\[\mathcal R_{\mathcal C}(\delta,Q) \lesssim_{\varepsilon,\mathcal C} \delta^{n-1}Q^2+Q^\varepsilon \left(Q+\sum_{k=1}^{n-1} \delta^{k^2/(k+1)}Q^{(2k+1)/(k+1)}\right).\\] 一个关键的新工具是 Gan--Maldague--Oh 发展的波包方法。
英文摘要
We establish sharp bounds for rational points near compact smooth nondegenerate curves in $\mathbb R^n$, for every $n\geq4$. For a nondegenerate curve $\mathcal C$ in $\mathbb R^n$, let \[ \mathcal R_{\mathcal C}(δ,Q) :=\#\left\{(\mathbf p,q)\in\mathbb Z^n\times\mathbb N: 1\leq q\leq Q,\ \operatorname{dist}(\mathbf p/q,\mathcal C)\leqδ/q\right\}.\] We prove that \[\mathcal R_{\mathcal C}(δ,Q) \lesssim_{\varepsilon,\mathcal C} δ^{n-1}Q^2+Q^\varepsilon \left(Q+\sum_{k=1}^{n-1} δ^{k^2/(k+1)}Q^{(2k+1)/(k+1)}\right).\] A key new ingredient is a wave packet method developed by Gan--Maldague--Oh.
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