发表机构
Istituto Nazionale di Alta Matematica “F. Severi”; Scuola Normale Superiore（高等数学国家研究所; 比萨高等师范学院）
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本文研究闭流形上次拉普拉斯算子的精确正则性，证明特征子流形的存在可导致正则性失效，并以虫形次拉普拉斯算子为例，利用缩放引理给出严格证明。
AI 中文摘要
设 $M$ 为闭流形，配备一族光滑实向量场 $X_1,\ldots, X_k$ 及光滑测度 $\mu$。令 $P:=\sum_j X_j^\dagger X_j$ 为相应的次拉普拉斯算子。在 $M$ 中任意两点均可由向量场的积分曲线连接而成的路径相连的假设下，方程 \\[ Pu=f \\] 对所有零均值数据 $f\in L^2$，在自然能量空间中具有唯一的零均值解 $u$。若当 $f\in H^k(M)$ 时总有 $u\in H^k(M)$，其中 $H^k(M)$ 为任意阶 $k\in \mathbb{N}$ 的基于 $L^2$ 的 Sobolev 空间，则称上述方程具有精确正则性。我们研究特征子流形（即与所有向量场 $X_j$ 相切的子流形）的存在如何可能导致精确正则性的失效。我们证明，对于一类“虫形次拉普拉斯算子”，这确实会发生，此类算子是 Kohn 拉普拉斯算子在 Diederich--Fornaess 虫形域上的实类比，在多复变量中具有重要研究价值。我们的主要工具是一个受 Barrett 和 Christ 关于 $\bar\partial$-Neumann 问题的工作启发的缩放引理。
英文摘要
Let $M$ be a closed manifold equipped with a collection of smooth real vector fields $X_1,\ldots, X_k$ and a smooth measure $μ$. Let $P:=\sum_j X_j^\dagger X_j $ be the associated sublaplacian. Under the assumption that each pair of points of $M$ can be connected by a path obtained by joining integral curves of the vector fields, the equation \[ Pu=f \] admits unique zero-average solutions $u$ in the natural energy space, for all zero average data $f\in L^2$. We say that exact regularity holds for the above equation if $u\in H^k(M)$ whenever $f\in H^k(M)$, where $H^k(M)$ is the $L^2$ based Sobolev space of any order $k\in \mathbb{N}$. We investigate how the presence of a characteristic submanifold, namely a submanifold tangent to all vector fields $X_j$, may cause a failure of exact regularity. We prove that this indeed happens for a class of "worm sublaplacians", which are real analogues of Kohn Laplacians on Diederich--Fornaess worm domains, of interest in several complex variables. Our main tool is a scaling lemma inspired by work of Barrett and Christ on the $\bar\partial$-Neumann problem.
