发表机构
Kyoto University; Okinawa Institute of Science and Technology Graduate University（京都大学; 冲绳科学技术大学院大学）
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本文研究大维秩一 HCIZ 积分中谱平均与对数的相互作用，揭示自由与经典乘法卷积的两种极限，并证明有限维等式及其在 $k\geq3$ 时的反例，同时推导 $S$-变换的乘性。
AI 中文摘要
我们研究了在大维秩一 Harish-Chandra--Itzykson--Zuber (HCIZ) 积分中，谱平均与对数如何相互作用。对于具有一致有界确定性奇异值且其 Gram 矩阵的经验谱测度弱收敛的独立双酉不变矩阵 $A,B$，在速度 $N^2$ 下，对于小的实参数，积分 $(BA)^*(BA)\otimes\mathbf{1}_N$ 有两种极限描述：对其对数取平均得到自由乘法卷积，而对平均后的结果取对数则得到经典乘法卷积。我们还证明了该退火积分与 $(A^*A)\otimes(B^*B)$ 的积分之间存在精确的有限维等式。对于每个固定的因子数 $k\geq3$，我们构造了反例，表明即使在渐近意义下，类似的等式也可能不成立。对于具有任意固定因子数 $k$ 的张量积，在相应的假设下，对于小的实参数，速度 $N^k$ 下的全局 Haar 向量和速度 $N$ 下的乘积态向量分别产生经典和自由乘法卷积。我们还推导了已知的 $S$-变换的乘性。
英文摘要
We study how spectral averaging interacts with the logarithm in large-dimensional rank-one Harish-Chandra--Itzykson--Zuber (HCIZ) integrals. For independent bi-unitarily invariant matrices $A,B$ with uniformly bounded deterministic singular values and weakly convergent empirical spectral measures of their Gram matrices, the integral for $(BA)^*(BA)\otimes\mathbf{1}_N$ has two limiting descriptions at speed $N^2$ for small real parameters: averaging its logarithm gives free multiplicative convolution, whereas taking the logarithm after averaging gives classical multiplicative convolution. We also prove an exact finite-dimensional equality between this annealed integral and the one for $(A^*A)\otimes(B^*B)$. For every fixed number of factors $k\geq3$, we construct counterexamples showing that the analogous equality can fail even asymptotically. For tensor products with any fixed number $k$ of factors, global Haar vectors at speed $N^k$ and product-state vectors at speed $N$ yield classical and free multiplicative convolution, respectively, for small real parameters under the corresponding hypotheses. We also derive the known multiplicativity of the $S$-transform.
Comments25 pages
