发表机构
Niigata University（新潟大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文研究 $C^1([0,1])$ 正单位球面上的范数可加映射，证明当 $1<p\le\infty$ 时满射范数可加映射必为积分形式且可扩展为线性等距，并构造 $p=1$ 时的反例说明条件本质性。
AI 中文摘要
设 $C^1(I)$ 表示闭单位区间 $I=[0,1]$ 上所有连续可微实值函数的空间。对于 $1\le p\le\infty$，我们在 $C^1(I)$ 上赋予范数 \\[ \Vert{f}\Vert_{(p)}:= \begin{cases} \left(|f(0)|^p+\Vert{f'}\Vert_{I}^p\right)^{1/p}, & 1\le p<\infty, \\\\ \max\{|f(0)|,\Vert{f'}\Vert_{I}\}, & p=\infty, \end{cases} \qquad (f\in C^1(I)), \\] 其中 $\Vert{\cdot}\Vert_I$ 表示 $I$ 上的上确界范数。设 $\mathcal{S}_p^+:=\{f\in C^1(I):f(0)\ge0,\\,f'\ge0,\\,\Vert{f}\Vert_{(p)}=1\}$ 为 $C^1(I)$ 的正单位球面。映射 $T:\mathcal{S}_p^+\to \mathcal{S}_p^+$ 称为范数可加的，如果 \\[ \\|T(f)+T(g)\\|_{(p)}=\\|f+g\\|_{(p)} \qquad (f,g\in \mathcal{S}_p^+). \\] 对于 $1<p\le\infty$，我们证明每个满射范数可加映射 $T\colon\mathcal{S}_p^+\to\mathcal{S}_p^+$ 都具有形式 \\[ T(f)(t) = f(0)+\int_0^t f'(\tau(s))\\,ds \\] 对所有 $f\in\mathcal{S}_p^+$ 和 $t\in I$ 成立，其中 $\tau\colon I\to I$ 是一个同胚。反之，每个这种形式的映射都是满射范数可加映射。因此，每个这样的映射都扩展为从 $(C^1(I),\Vert{\cdot}\Vert_{(p)})$ 到自身的满射线性等距。然而，对于 $p=1$，我们在 $\mathcal{S}_1^+$ 上构造了一个满射范数可加映射，它不具有上述形式，且不允许线性扩展到 $C^1(I)$，这表明假设 $p>1$ 是本质的。
英文摘要
Let $C^1(I)$ denote the space of all continuously differentiable real-valued functions on the closed unit interval $I=[0,1]$. For $1\le p\le\infty$, we equip $C^1(I)$ with the norm \[ \Vert{f}\Vert_{(p)} := \begin{cases} \left(|f(0)|^p+\Vert{f'}\Vert_{I}^p\right)^{1/p}, & 1\le p<\infty, \\ \max\{|f(0)|,\Vert{f'}\Vert_{I}\}, & p=\infty, \end{cases} \qquad (f\in C^1(I)), \] where $\Vert{\cdot}\Vert_I$ denotes the supremum norm on $I$. Let $\mathcal{S}_p^+:=\{f\in C^1(I):f(0)\ge0,\,f'\ge0,\,\Vert{f}\Vert_{(p)}=1\}$ be the positive unit sphere of $C^1(I)$. A map $T:\mathcal{S}_p^+\to \mathcal{S}_p^+$ is called norm-additive if \[ \|T(f)+T(g)\|_{(p)}=\|f+g\|_{(p)} \qquad (f,g\in \mathcal{S}_p^+). \] For $1<p\le\infty$, we prove that every surjective norm-additive map $T\colon\mathcal{S}_p^+\to\mathcal{S}_p^+$ is of the form \[ T(f)(t) = f(0)+\int_0^t f'(τ(s))\,ds \] for all $f\in\mathcal{S}_p^+$ and $t\in I$, where $τ\colon I\to I$ is a homeomorphism. Conversely, every map of this form is a surjective norm-additive map. Consequently, every such map extends to a surjective linear isometry from $(C^1(I),\Vert{\cdot}\Vert_{(p)})$ onto itself. For $p=1$, however, we construct a surjective norm-additive map on $\mathcal{S}_1^+$ which is not of the above form and admits no linear extension to $C^1(I)$, showing that the assumption $p>1$ is essential.
