发表机构
Northeastern University（东北大学）
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本文解决了粗糙核振荡奇异积分弱型(1,1)不等式的长期开放问题，证明当Ω属于Llog⁺L时成立，并进一步给出相关粗糙极大振荡算子的弱型界。
AI 中文摘要
在其开创性工作中，F. Ricci 和 E. M. Stein 引入了振荡奇异积分 $T_Pf(x)=\operatorname{p.v.}\int_{\mathbb{R}^n}e^{iP(x,y)}\frac{\Omega(x-y)}{|x-y|^n}f(y)\\,dy$，而 S. Chanillo 和 M. Christ 对光滑的 $\Omega$ 建立了其弱型 $(1,1)$ 不等式。然而，对于粗糙变体，弱型 $(1,1)$ 不等式长期以来一直是一个悬而未决的问题。在本文中，我们解决了这个问题：具体来说，我们证明了当 $\Omega\in L\log^+\\!L(\mathbb{S}^{n-1})$ 时，粗糙振荡奇异积分具有弱型 $(1,1)$ 性质。此外，我们还建立了与 $T_P$ 相关的粗糙极大振荡算子的弱型 $(1,1)$ 界，这是一个具有独立意义的结果。
英文摘要
In their seminal work, F. Ricci and E. M. Stein introduced the oscillatory singular integral $T_Pf(x)=\operatorname{p.v.}\int_{\mathbb{R}^n}e^{iP(x,y)}\frac{Ω(x-y)}{|x-y|^n}f(y)\,dy$, and S. Chanillo and M. Christ established its weak-type $(1,1)$ inequality for smooth $Ω$. For the rough variant, however, the weak-type $(1,1)$ inequality remained a long-standing open question. In the present paper, we settle this problem: specifically, we prove that the rough oscillatory singular integral is of weak type $(1,1)$ with $Ω\in L\log^+\!L(\mathbb{S}^{n-1})$. Moreover, we establish weak-type $(1,1)$ bounds for the rough maximal oscillatory operator associated with $T_P$, a result of independent interest.
