发表机构
School of Mathematical Sciences, Xiamen University; School of Mathematics, Hefei University of Technology（厦门大学数学科学学院; 合肥工业大学数学学院）
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本文引入并分类 Takiff 代数的抛物子代数，建立抛物诱导模不可约性判据，并推导 Chari 范畴中 Harish-Chandra 模的特征标公式。
AI 中文摘要
设 $\mathfrak{g}$ 为有限维复半单李代数，令 $\mathcal{C}_N\mathfrak{g}=\mathfrak{g}\otimes (\mathbb{C}[t]/t^{N+1}\mathbb{C}[t])$ 表示 $\mathfrak{g}$ 的第 $N$ 个 Takiff 代数。我们引入 $\mathcal{C}_N\mathfrak{g}$ 的抛物子代数的概念，并利用 $\mathfrak{g}$ 的简单根系上的 $(N+2)$-分割对其分类。随后我们研究相应的抛物诱导 $\mathcal{C}_N\mathfrak{g}$-模，并建立其不可约性的充要判据，推广了 Jantzen 关于抛物诱导 $\mathfrak{g}$-模的判据。作为应用，我们推导出与 $\mathfrak{g}$ 关联的（无中心的）仿射李代数上 Chari 范畴 $\widetilde{\mathcal{O}}$ 中几乎所有不可约 Harish-Chandra 模的特征标公式。特别地，当 $\mathfrak{g}=\mathfrak{sl}_3(\mathbb{C})$ 时，我们得到该范畴中所有不可约 Harish-Chandra 模的显式特征标公式。
英文摘要
Let $\mathfrak{g}$ be a finite-dimensional complex semisimple Lie algebra, and let $\mathcal{C}_N\mathfrak{g}=\mathfrak{g}\otimes (\mathbb{C}[t]/t^{N+1}\mathbb{C}[t])$ denote the $N$-th Takiff algebra of $\mathfrak{g}$. We introduce a notion of parabolic subalgebras of $\mathcal{C}_N\mathfrak{g}$ and classify them in terms of $(N+2)$-partitions of a simple root system of $\mathfrak{g}$. We then study the corresponding parabolically induced $\mathcal{C}_N\mathfrak{g}$-modules and establish a necessary and sufficient criterion for their irreducibility, extending Jantzen's criterion for parabolically induced $\mathfrak{g}$-modules. As an application, we derive character formulas for almost all irreducible Harish-Chandra modules in Chari's category $\widetilde{\mathcal{O}}$ over the (centerless) affine Lie algebra associated with $\mathfrak{g}$. In particular, when $\mathfrak{g}=\mathfrak{sl}_3(\mathbb{C})$, we obtain explicit character formulas for all irreducible Harish-Chandra modules in this category.
