发表机构
College of Mathematics, Sichuan University; Department of Mathematics, University of Illinois Urbana-Champaign; School of Mathematical Sciences, Tianjin University of Technology（四川大学数学学院; 伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校数学系; 天津理工大学数学科学学院）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文研究一维暂态随机游走偏好位点的基数与逃逸速率，证明了基数无穷多次等于任意正整数的概率为1，并给出其上极限及逃逸速率的上下极限行为，其中下极限由积分检验刻画。
AI 中文摘要
本文研究了在整数集 $\mathbb{Z}$ 上的一维暂态随机游走（超出简单情形）的偏好位点。记 $\mathcal{K}(n)$ 为时间 $n$ 时的偏好位点集合。本文的目标有两方面。首先，我们研究 $\mathcal{K}(n)$ 的基数 $\\# \mathcal{K}(n)$，并证明在若干温和条件下，对任意正整数 $k$，有 $\mathbf{P}(\\#\mathcal{K}(n)=k, \text{ 无穷多次})=1$，且 $\limsup_{n\to\infty}\\#\mathcal{K}(n)/\log\log n=-1/\log \gamma$，其中 $\gamma$ 是随机游走永不返回起点的概率。其次，我们研究偏好位点的逃逸速率，给出了上极限和下极限行为，其中下极限行为通过积分检验来刻画。据我们所知，这一积分检验是随机游走（在非随机环境中）的首个此类结果。
英文摘要
In this paper, we study favorite sites of one-dimensional transient random walk on $\mathbb{Z}$ beyond the simple case. Denote by $\mathcal{K}(n)$ the set of favorite sites at time $n$. The goal of this paper is twofold. First, we study $\# \mathcal{K}(n)$, the cardinality of $\mathcal{K}(n)$, and show that, under some mild conditions, for any positive integer $k$, $\mathbf{P}(\#\mathcal{K}(n)=k, {\rm i.o.})=1$, and $\limsup_{n\to\infty}\#\mathcal{K}(n)/\log\log n=-1/\log γ$, where $γ$ is the probability that the random walk never returns to the starting point. Second, we study the escape rate of favorite sites, and give the limsup and liminf behaviors, where the liminf behavior is characterized via an integral test. To the best of our knowledge, this integral test is the first result of this nature for random walks (in non-random environments).
Comments37 pages
