AI 中文总结
本文通过旗复形构造的立方复形间的分支覆盖，建立了右角 Coxeter 群 $L^2$-Betti 数的不等式，将 Singer 猜想归结为球面极小三角剖分，并计算了射影平面与环面的情形。
AI 中文摘要
一个旗复形 $L$ 决定了一个局部 CAT(0) 立方复形 $P_L$，其所有顶点的链环都与 $L$ 同构。$P_L$ 的基本群是右角 Coxeter 群 $W_L$ 的换位子群。我们观察到，边收缩 $L \rightarrow L/e$ 决定了一个 2 重分支覆盖 $P_L \rightarrow P_{L/e}$（在同伦等价的意义下）。我们利用这个分支覆盖给出了 $W_L$ 和 $W_{L/e}$ 的 $\mathbb{F}_2$-$L^2$-Betti 数之间的一个不等式。这将对右角 Coxeter 群的 Singer 猜想的 $\mathbb{F}_2$ 版本归结为偶数维球面的极小旗三角剖分。我们还利用这个不等式计算了当 $L$ 是射影平面或环面的旗三角剖分时 $W_L$ 的 $L^2$-Betti 数。
英文摘要
A flag complex $L$ determines a locally CAT(0) cube complex $P_L$ with the links of all vertices isomorphic to $L$. The fundamental group of $P_L$ is the commutator subgroup of the right-angled Coxeter group $W_L$. We observe that an edge contraction $L \rightarrow L/e$ determines a $2$-fold branched cover $P_L \rightarrow P_{L/e}$ (up to a homotopy equivalence). We use this branched cover to give an inequality between the $\mathbb{F}_2$-$L^2$-Betti numbers of $W_L$ and $W_{L/e}$. This reduces an $\mathbb{F}_2$-version of the Singer Conjecture for right-angled Coxeter groups to minimal flag triangulations of even dimensional spheres. We also use this inequality to compute the $L^2$-Betti numbers of $W_L$ when $L$ is a flag triangulation of the projective plane or the torus.
Comments21 pages, 4 figures
