发表机构
Fudan University; Shanghai Jiao Tong University（复旦大学; 上海交通大学）
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本文针对中间小平维数的光滑射影三维流形，建立了尖锐的 Noether 型不等式，给出了伊塔卡体积与几何亏格的下界关系，并刻画了等号成立的条件。
AI 中文摘要
对于具有中间小平维数的光滑射影 $3$ 维流形 $V$，我们建立了联系其伊塔卡体积 $\operatorname{Ivol}(V)$ 与几何亏格 $p_g(V)$ 的 Noether 型不等式。具体而言，对于小平维数为 $2$ 的光滑射影 $3$ 维流形 $V$，我们证明 $\operatorname{Ivol}(V)\geq \frac{3}{4}p_g(V)-\frac{5}{4}$；而若 $V$ 的小平维数为 $1$，则 $\operatorname{Ivol}(V)\geq p_g(V)-1$。这两个不等式都是尖锐的。在小平维数为 $2$ 的情形，我们证明当 $p_g(V)\geq 4$ 时，等号成立当且仅当 $V$ 的双典范系统诱导伊塔卡纤维化，且 $V$ 的典范系统由一个曲面束复合而成，该曲面束的一般成员具有伊塔卡体积 $\frac{1}{2}$。
英文摘要
For a smooth projective $3$-fold $V$ of intermediate Kodaira dimension, we establish Noether-type inequalities relating the Iitaka volume $\operatorname{Ivol}(V)$ and the geometric genus $p_g(V)$. Specifically, for a smooth projective $3$-fold $V$ of Kodaira dimension $2$, we show that $\operatorname{Ivol}(V)\geq \frac{3}{4}p_g(V)-\frac{5}{4};$ while if the Kodaira dimension of $V$ is $1$, then $\operatorname{Ivol}(V)\geq p_g(V)-1.$ Both inequalities are sharp. In the Kodaira dimension $2$ case, we prove that the equality holds only if the bicanonical system of $V$ induces the Iitaka fibration and the canonical system of $V$ is composed with a pencil of surfaces whose general member has Iitaka volume $\frac12$ provided that $p_g(V)\geq 4$.
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