发表机构
JIS University（JIS大学）
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本文研究加权双线性 Hardy 算子在输入端点（指数含1或无穷）的紧性，给出临界指数范围、活动尾部衰减刻画及本质范数公式，并处理拟 Banach 目标与有限端点情形。
AI 中文摘要
我们研究了两个加权 Hardy 原函数之积在输入边界 $1\le p_1,p_2\le\infty$ 上到 $L^q(u)$（$0<q<\infty$）的紧性，其中至少一个输入指数为 $1$ 或 $\infty$。对于 $L^1\times L^p$（$1<p<\infty$），当 $q<p/(p+1)$ 时有界性蕴含紧性。对于 $L^1\times L^1$，相应范围为 $q<1/2$。在这些边界处及之上，紧性由额外的活动尾部衰减刻画，而临界幂权给出有界非紧的例子。端点约化使用带初始原子的累积 Stieltjes 测度和严格的 Hardy-Copson 括号。一个输出质量分配论证证明了局部有限秩稠密性，包括拟 Banach 目标空间。应用为内部输入机制发展的局部化原理，将本质距离、有限秩距离和 Hausdorff 非紧半径与耦合活动尾部等同，当 $q<1$ 时采用适当的度量幂。对于有限左端点，普通 $L^\infty$ 输入允许精确的标量传递，并由线性节点逼近完成。
英文摘要
We study compactness of the product of two weighted Hardy primitives into $L^q(u)$, $0<q<\infty$, on the input boundary $1\le p_1,p_2\le\infty$, where at least one input exponent is $1$ or $\infty$. For $L^1\times L^p$, $1<p<\infty$, boundedness implies compactness when $q<p/(p+1)$. For $L^1\times L^1$, the corresponding range is $q<1/2$. At and above these boundaries compactness is characterized by additional active-tail decay, and critical power weights give bounded noncompact examples. The endpoint reductions use cumulative Stieltjes measures with their initial atoms and strict Hardy-Copson brackets. An output-mass allocation argument proves local finite-rank density, including quasi-Banach targets. Applying the localization principles developed for the interior-input regime identifies the essential distance, finite-rank distance and Hausdorff noncompactness radius with the coupled active tail, with the appropriate metric power when $q<1$. For a finite left endpoint, ordinary $L^\infty$ inputs admit an exact scalar transfer completed by linear nodal approximation.
Comments24 pages, 1 table
