除数之和的除数中的反链
Antichains among Divisor Sums of Divisors
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中文总结 AI 辅助
本文研究正整数除数在映射到其因子和函数后，原除数格中反链宽度的保留情况，通过整除偏序集乘积宽度刻画最大值，并利用Engel极限理论及素数方向2和3确定精确方差，给出极限公式与渐近结果。
中文摘要 AI 辅助
对于正整数 $n$，设 $S(n)=\{\sigma(d): d\mid n\}$ 按整除关系排序，并设 $a(n)$ 为其宽度。我们研究 $n$ 的除数格在映射 $d\mapsto \sigma(d)$ 下有多少得以保留。对于每个固定的素数指数模式，$a(n)$ 的最大可能值是相应的整除偏序集乘积的宽度，并且该最大值被无限多次达到。在无平方因子情形且 $\omega(n)=r$ 时，从 $1$ 到 $\binom{r}{\lfloor r/2\rfloor}$ 的每个宽度都会出现，同样无限多次。对于重复指数模式，Engel 的极限理论将渐近宽度问题归结为最优表示方差。我们证明对于整除偏序集 $D_m=(\{1,\ldots,m\},\mid)$，素数方向 $2$ 和 $3$ 已经决定了精确的方差。结构上的原因是临界膨胀 $4$，它严格位于 $3$ 和下一个素数 $5$ 之间。这给出了一个精确的有限公式、极限 $V(D_m)\to 1.0367934201598\ldots$，以及重复指数模式的渐近行为。互补的最小宽度问题在很大程度上仍然开放。
英文摘要
For a positive integer $n$, let $S(n)=\{σ(d): d\mid n\}$ be ordered by divisibility, and let $a(n)$ be its width. We study how much of the divisor lattice of $n$ survives under the map $d\mapsto σ(d)$. For every fixed prime-exponent pattern, the largest possible value of $a(n)$ is the width of a corresponding product of divisibility posets, and this maximum is attained infinitely often. In the squarefree case with $ω(n)=r$, every width from $1$ to $\binom{r}{\lfloor r/2\rfloor}$ occurs, again infinitely often. For repeated exponent patterns, Engel's limit theory reduces the asymptotic width problem to optimal representation variance. We show that for the divisibility poset $D_m=(\{1,\ldots,m\},\mid)$, the prime directions $2$ and $3$ already determine the exact variance. The structural reason is the critical dilation $4$, lying strictly between $3$ and the next prime $5$. This yields an exact finite formula, the limit $V(D_m)\to 1.0367934201598\ldots$, and asymptotics for repeated exponent patterns. The complementary minimum-width problem remains largely open.
