发表机构
Indian Institute of Technology Madras（印度马德拉斯理工学院）
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本文通过分析复化映射的像，用庞特里亚金类刻画了四元射影空间连通和上实向量丛的稳定复结构，证明了仅当 n=2 且 ℓ-m 为偶数时该空间稳定殆复，并彻底否定了 n≥3 时殆复结构的存在性。
AI 中文摘要
对于整数 $n\ge 2$ 以及整数 $\ell,m\ge 0$（不同时为零），设 $M^{4n}_{\ell,m}=\ell\\,\mathbb{HP}^{n}\\,\\#\\,m\\,\overline{\mathbb{HP}^{n}}$ 表示 $\ell$ 个四元射影空间 $\mathbb{HP}^{n}$ 与 $m$ 个赋予相反定向的 $\mathbb{HP}^{n}$ 的连通和。通过分析复化映射 $c\\,\colon\\,\widetilde{KO}(M^{4n}_{\ell,m})\to\widetilde{K}(M^{4n}_{\ell,m})$ 的像，我们以庞特里亚金类刻画了 $M^{4n}_{\ell,m}$ 上具有稳定复结构的实向量丛，并由此推出 $M^{4n}_{\ell,m}$ 是稳定殆复的当且仅当 $n=2$ 且 $\ell-m$ 为偶数。因此，所有满足 $n\ge 3$ 的 $M^{4n}_{\ell,m}$ 都不具有殆复结构。Sato 和 Suzuki 曾在 1974 年断言，对于 $3\le n\le 10$，$M^{4n}_{\ell,m}$ 不存在殆复结构，除非可能 $n=3$ 且 $\ell=3m+1$；我们证明了这一结论对所有 $n\ge 3$ 成立，并且以更强的稳定殆复结构形式给出。
英文摘要
For integers $n\ge 2$ and integers $\ell,m\ge 0$, not both zero, let $M^{4n}_{\ell,m}=\ell\,\mathbb{HP}^{n}\,\#\,m\,\overline{\mathbb{HP}^{n}}$ denote the connected sum of $\ell$ copies of the quaternionic projective space $\mathbb{HP}^{n}$ and $m$ copies of $\mathbb{HP}^{n}$ endowed with the opposite orientation. By analysing the image of the complexification map $c\,\colon\,\widetilde{KO}(M^{4n}_{\ell,m})\to\widetilde{K}(M^{4n}_{\ell,m})$, we characterise, in terms of Pontryagin classes, the real vector bundles over $M^{4n}_{\ell,m}$ admitting a stable complex structure, and deduce that $M^{4n}_{\ell,m}$ is stably almost complex if and only if $n=2$ and $\ell-m$ is even. Consequently no $M^{4n}_{\ell,m}$ with $n\ge 3$ admits an almost complex structure. Sato and Suzuki asserted the non-existence of almost complex structures on $M^{4n}_{\ell,m}$ in 1974 for $3\le n\le 10$, except possibly when $n=3$ and $\ell=3m+1$; we establish it for all $n\ge 3$, and in the stronger form of stable almost complex structures.
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