发表机构
UC San Diego（加州大学圣地亚哥分校）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
该研究为横向场伊辛模型建立了计算相图：在谱宽与横向场满足特定条件时给出多项式时间随机经典算法近似配分函数与泡利可观测量，否则近似问题为NP-hard。
AI 中文摘要
我们研究横向场伊辛模型，其哈密顿量定义为 $H =\frac{1}{2}\sum_{i, j\in [n]} J_{ij} Z_i Z_j +\sum_{i=1}^n h_i^z Z_i + \eta\sum_{i} X_i$，其中 $J$ 是对称相互作用矩阵，$\eta$ 是横向场强度。设 $\Delta(J)=\lambda_{\max}(J)-\lambda_{\min}(J)$ 为 $J$ 的谱宽。当逆温度 $\beta\geq0$ 满足 $\Delta(J)\cdot\frac{\tanh(\beta\eta)}{\eta}\leq1$ 时，我们给出一个随机经典算法，该算法在 $n$、$\beta$、模型参数和 $\epsilon^{-1}$ 的多项式时间内，将配分函数 $Z(\beta)=\operatorname{Tr}(e^{-\beta H})$ 近似到给定的相对误差 $\epsilon\in(0,1)$。当 $\Delta(J) \cdot \frac{\tanh(\beta \eta)}{\eta} > 1$ 时，我们证明在 $\exp(o(n))$ 乘法因子内近似 $Z(\beta)$ 是 $\textbf{NP}$-困难的，因此在标准复杂性理论假设下不太可能存在高效的经典或量子算法。此外，在 $\Delta (J)\cdot \frac{\tanh(\beta \eta)}{\eta}\leq 1$ 的区域内，我们提供一种高效的随机经典算法，该算法以任意小的加性误差近似吉布斯态 $\rho_\beta = \frac{e^{-\beta H}}{\operatorname{Tr}(e^{-\beta H})}$ 的泡利串可观测量。在可观测量在 $X$ 基下也是对角的特殊情况下，即 $P \in \{I, X\}^{\otimes n}$，该算法进一步实现任意小的相对误差。
英文摘要
We study the transverse field Ising model, defined by the Hamiltonian $H =\frac{1}{2}\sum_{i, j\in [n]} J_{ij} Z_i Z_j +\sum_{i=1}^n h_i^z Z_i + η\sum_{i} X_i$ where $J $ is the symmetric interaction matrix, and $η$ is the transverse field strength. Let $Δ(J)=λ_{\max}(J)-λ_{\min}(J)$ be the spectral width of $J.$ When the inverse temperature $β\geq0$ satisfies $Δ(J)\cdot\frac{\tanh(βη)}η\leq1$, we give a randomized classical algorithm that approximates the partition function $Z(β)=\operatorname{Tr}(e^{-βH})$ to a given relative error $ε\in(0,1)$ in time polynomial in $n$, $β$, the model parameters, and $ε^{-1}$. When $ Δ(J) \cdot \frac{\tanh(βη)}η > 1 ,$ we show that approximating $ Z(β)$ within an $\exp(o(n))$-multiplicative factor is $\textbf{NP}$-hard, and thus unlikely to admit an efficient classical or quantum algorithms under standard complexity theoretic assumptions. Furthermore, in the regime $Δ(J)\cdot \frac{\tanh(βη)}η\leq 1,$ we provide an efficient randomized classical algorithm that approximates Pauli string observables of the Gibbs state $ ρ_β= \frac{e^{-βH}}{\operatorname{Tr}(e^{-βH})}$ within an arbitrarily small additive error. In the special case when the observable is also diagonal in the $X$-basis, i.e. $P \in \{I, X\}^{\otimes n}$, the algorithm further achieves arbitrarily small relative error.
