发表机构
Institute of Mathematics and Interdisciplinary Sciences, Xidian University; National Taiwan University; VNU University of Science, Hanoi, Vietnam; Institute of Mathematical Sciences, ShanghaiTech University（西安电子科技大学数学与交叉科学研究院; 台湾大学; 越南河内越南国立大学自然科学大学; 上海科技大学数理学院）
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本文研究素数域上偶数维中非退化二次型诱导的距离集大小，证明了当集合大小达到 $p^m$ 时距离集下界为 $p/\log(2+p^{m+1}/|E|)$，并在平面情形给出最优（对数因子内）下界 $|E|/\log(2|E|)$。
AI 中文摘要
设 $p$ 为奇素数，$m\geq1$ 为整数，$Q$ 为 $\mathbb{F}_p^{2m}$ 上 Witt 指标为 $m-1$ 的非退化二次型。对于非空集合 $E\subseteq\mathbb{F}_p^{2m}$，记 $\Delta_Q(E)=\{Q(x-y):x,y\in E\}$。我们证明，当 $|E|\geq p^m$ 时，$$ |\Delta_Q(E)|\gg \frac{p}{\log\bigl(2+p^{m+1}/|E|\bigr)}, $$ 其中绝对隐含常数不依赖于 $p$、$m$ 和 $Q$。在平面情形 $m=1$ 时，我们还证明 $$ |\Delta_Q(E)|\gg\frac{|E|}{\log(2|E|)}, \qquad (1\leq |E|\leq p), $$ 该结果在对数因子意义下是最优的。
英文摘要
Let $p$ be an odd prime, let $m\geq1$ be an integer, and let $Q$ be a nondegenerate quadratic form on $\mathbb F_p^{2m}$. For a nonempty set $E\subseteq\mathbb F_p^{2m}$, write $Δ_Q(E)=\{Q(x-y):x,y\in E\}$. We prove that, whenever $|E|>p^m$, \[ |Δ_Q(E)|\gg \min\left\{\frac{p}{L_E},\, \frac{|E|}{p^{m-1}L_E^2}\right\}, \qquad L_E=\log\left(2+\frac{p^{m+1}}{|E|}\right), \] with an absolute implied constant independent of $p$, $m$ and $Q$. This confirms the Erdős--Falconer distance conjecture up to a logarithmic factor. In the anisotropic planar case $m=1$, for small sets, we also prove that \[ |Δ_Q(E)|\gg\frac{|E|}{\log(2|E|)}, \qquad (1\leq |E|\leq p), \] which is also optimal up to a logarithmic factor.
Comments50 pages
