AI 中文总结
本文将 Laface-Ugaglia 构造无理 Seshadri 常数的二面体反射机制推广到所有奇数 n≥5，证明了一族显式丰富线丛在非常一般点处具有无理 Seshadri 常数，并提炼出抽象平衡反射原理。
AI 中文摘要
Laface 和 Ugaglia 最近通过在 $\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$ 上取一个二面体轨道、一系列 de Jonquières 变换，以及沿一条具有平衡法丛的 $(-4)$-曲线进行反射论证，构造了在九个非常一般点的 $\mathbb{P}^2$ blow-up 上的一个无理单点 Seshadri 常数。我们证明同一机制一致地推广到每个奇数 $n\geq 5$。对于 $n=2k+1$，我们证明在 $2n$ 个非常一般点处，以及在一个固定的阶为 $2n$ 的二面体群的非常一般自由轨道上，有 $$ \varepsilon\bigl(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1}(n-4,1);p_1,\ldots,p_{2n}\bigr)=\sqrt{\frac{n-4}{n}}。 $$ 对于每个奇数 $n\geq 7$，这产生了在 $k+7=(n+13)/2$ 个非常一般点的 $\mathbb{P}^2$ 的 blow-up 上的一个显式丰富线丛，其在非常一般点处的单点 Seshadri 常数等于 $$ 2\sqrt{n(n-4)}。 $$ 更精确地，经过一次二次变换后，我们得到丰富除子 $$ L_n=(3n-4)H-nE_1-(n-2)(E_2+\cdots+E_5)-4(E_6+\cdots+E_{k+5})-2(E_{k+6}+E_{k+7})， $$ 其中 $L_n^2=4n(n-4)$ 且 $\varepsilon(L_n;x)=\sqrt{L_n^2}$。我们还分离出构造背后的一个抽象平衡反射原理：当一条有理曲线在总空间中的法丛为 $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(-a)^{\oplus 2}$ 时，特殊纤维上的一个 nef 类可以沿该平方为 $-2a$ 的有理曲线反射，并且反射后的类在非常一般纤维上是 nef 的。
英文摘要
Laface and Ugaglia recently constructed an irrational one-point Seshadri constant on the blow-up of $\mathbb{P}^2$ at nine very general points by combining a dihedral orbit on $\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$, a sequence of de Jonquières transformations, and a reflection argument along a $(-4)$-curve with balanced normal bundle. We show that the same mechanism extends uniformly to every odd integer $n\geq 5$. For $n=2k+1$ we prove $$ \varepsilon\bigl(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1}(n-4,1);p_1,\ldots,p_{2n}\bigr)=\sqrt{\frac{n-4}{n}} $$ at $2n$ very general points, and already at a very general free orbit of a fixed dihedral group of order $2n$. For every odd $n\geq 7$ this produces an explicit ample line bundle on the blow-up of $\mathbb{P}^2$ at $k+7=(n+13)/2$ very general points whose one-point Seshadri constant at a very general point equals $$ 2\sqrt{n(n-4)}. $$ More precisely, after one quadratic transformation we obtain the ample divisor $$ L_n=(3n-4)H-nE_1-(n-2)(E_2+\cdots+E_5)-4(E_6+\cdots+E_{k+5})-2(E_{k+6}+E_{k+7}), $$ with $L_n^2=4n(n-4)$ and $\varepsilon(L_n;x)=\sqrt{L_n^2}$. We also isolate an abstract balanced-reflection principle underlying the construction: a nef class on a special fiber can be reflected across a rational curve of square $-2a$ whenever the curve has normal bundle $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(-a)^{\oplus 2}$ in the total space, and the reflected class is nef on very general fibers.
