两个链的乘积的负 Schur 系数
A negative Schur coefficient for products of two chains
- School of Mathematics and Statistics, Beijing Institute of Technology（北京理工大学数学与统计学院）
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AI总结：
本文证明两个链的乘积在特定参数范围内不是 Schur 正的，通过细化链划分方法并显式计算负系数，扩展了已知结果。
AI中文摘要：
我们证明了当 $n\ge4$ 且 $m\ge3n-1$ 时，链的乘积 $\mathbf{m}\times\mathbf{n}$ 不是 Schur 正的。设 $m=n+k$，我们展示了一个由 $(2n+k-1,2n+k-3,\ldots,k+5,k,k,4)$ 索引的负系数，并将其显式地计算为 $(n-2)!$ 乘以一个关于 $k$ 的三次多项式。我们的论证细化了 Li、Qiu、Yang 和 Zhang 的链划分方法：秩容量迫使 $n-2$ 条长链，而剩余的三条链通过将具有固定行坐标的中间区间与两个有界边界区域分开来计数。结合他们的定理以及宽度为二和三的已知情况，这表明对于 $n\ge3$、$m\ge n+5$，以及对于 $n=2$、$m\ge8$，这些乘积不是 Schur 正的。
英文摘要：
We prove that the product of chains $\mathbf{m}\times\mathbf{n}$ is not Schur positive whenever $n\ge4$ and $m\ge3n-1$. Writing $m=n+k$, we exhibit a negative coefficient indexed by $(2n+k-1,2n+k-3,\ldots,k+5,k,k,4)$ and evaluate it explicitly as $(n-2)!$ times a polynomial of degree three in $k$. Our argument refines the chain-partition method of Li, Qiu, Yang, and Zhang: rank capacity forces $n-2$ long chains, and the remaining three chains are counted by separating a middle interval with fixed row coordinates from two bounded boundary regions. Together with their theorem and the known cases of widths two and three, this shows that these products are not Schur positive for $n\ge3$, $m\ge n+5$, and for $n=2$, $m\ge8$.
