发表机构
The Hong Kong University of Science and Technology; New York University（香港科技大学; 纽约大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文研究分布约束下布朗运动最大值的最优停时问题，通过变分不等式刻画最优边界，并利用时间反转表示和粘性解方法证明首达时间的最优性。
AI 中文摘要
我们考虑分布约束下的最优停时问题 $\sup_{\tau\sim \mu} \mathbb E[B^*_\tau]$，其中 $\mu$ 是 $\mathbb R_+$ 上的概率分布，$(B^*_t)$ 表示标准布朗运动的运行最大值。该问题由 Beiglbock 等人（PTRF, 2018）引入，其中使用单调性原理将最优停时确定为特定边界的首达时间。在本文中，我们通过变分不等式刻画该边界。秉承 Cox 等人（PTRF, 2019）的精神，我们为变分不等式提供了一种新颖的概率表示，将其转化为时间反转的最优停时问题。证明粘性解性质和比较原理的一个关键要素是时间-空间域奇异角点附近的定量估计，在该角点处初始条件和边界条件不兼容。然后，我们通过离散时间的 Snell 包络构造以及相关停时的稳定性论证，证明了所得首达时间的最优性。
英文摘要
We consider the distribution-constrained optimal stopping problem $\sup_{τ\sim μ} \mathbb E[B^*_τ]$, where $μ$ is a probability distribution on $\mathbb R_+$, and $(B^*_t)$ denotes the running maximum of a standard Brownian motion. This problem was introduced in Beiglbock et al. (PTRF, 2018), where a monotonicity principle is used to establish the optimal stopping time as the hitting time of a specific boundary. In this paper, we characterize this boundary by a variational inequality. In the spirit of Cox et al. (PTRF, 2019), we provide a novel probabilistic representation for the variational inequality as a time-reversed optimal stopping problem. A key ingredient for proving the viscosity solution property and comparison principle is a quantitative estimate near the singular corner of the time-space domain, where the initial and boundary conditions are incompatible. We then prove the optimality of the resulting hitting time through a discrete-time Snell envelope construction and a stability argument for the associated stopping times.
