确定 $n\geq4$ 时 Calderón 问题中的 $W^{1,n}$ 电导率
Determining $W^{1,n}$ conductivities in Calderón's problem for $n\geq4$
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- Key Laboratory of Algebraic Lie Theory and Analysis, Ministry of Education, School of Mathematics and Statistics, Beijing Institute of Technology（北京理工大学数学与统计学院代数李理论与分析教育部重点实验室）
- Department of Mathematics, City University of Hong Kong（香港城市大学数学系）
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中文总结 AI 辅助
本文针对 $n\ge4$ 维各向同性 Calderón 问题，在临界 Sobolev 正则性下证明了全局唯一性，通过平均迹范数方法结合复几何光学解决了长期开放问题。
中文摘要 AI 辅助
我们建立了在所有维度 $n\ge 4$ 下各向同性 Calderón 问题在临界 Sobolev 正则性下的全局唯一性结果。更精确地说，对于每个 $n\ge4$ 和每个有界 Lipschitz 域 $\Omega\subset\mathbb{R}^n$，任何实值、一致椭圆的标量电导率 $\gamma\in W^{1,n}(\Omega)$ 由其完整的 Dirichlet-to-Neumann 映射唯一确定。这解决了该领域一个长期存在的开放问题。为了证明这一端点处的唯一性，我们发展了一种平均迹范数方法，该方法将复几何光学与对波方向取平均的迹范数估计相结合。
英文摘要
We establish a global uniqueness result at the critical Sobolev regularity for the isotropic Calderón problem in all dimensions $n\ge 4$. More precisely, for every $n\ge4$ and every bounded Lipschitz domain $Ω\subset\mathbb{R}^n$, any real-valued, uniformly elliptic scalar conductivity $γ\in W^{1,n}(Ω)$ is uniquely determined by its full Dirichlet-to-Neumann map. This settles a long-standing open problem in the field. To prove uniqueness at this endpoint, we develop an averaged trace norm method, which combines complex geometrical optics with trace norm estimates averaged over wave orientations.
