发表机构
Université Paris-Saclay; University of New South Wales; Xi’an Jiaotong University（巴黎萨克雷大学; 新南威尔士大学; 西安交通大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文研究具有多项式自变量的三维特征和，在两种参数条件下证明非平凡上界，并应用于更短区间内计数 $\mathbb{F}_p$ 上具有不可约特征多项式的 $2\times2$ 矩阵。
AI 中文摘要
设 $p$ 为大素数，$\chi$ 为模 $p$ 的非平凡狄利克雷特征。我们研究特征和 \\[ \sum_{a \sim A} \sum_{b \sim B} \sum_{c \sim C} \alpha(a,b) \beta(c)\chi(f(a) + bc), \\] 其中 $z \sim Z$ 表示 $Z\le z < 2Z$，$f \in \mathbb{Z}[X]$ 为小次数 $k$ 的多项式，$\boldsymbol\alpha=(\alpha(a,b))_{a\sim A,b\sim B}$ 和 $\boldsymbol\beta=(\beta(c))_{c\sim C}$ 为两个复系数。我们证明该和在以下两种情形下具有非平凡上界：(1) $\boldsymbol\beta\equiv1$，$k=2,3,4,5$ 且 $A,B,C>p^{\frac{1}{8}+\varepsilon}$；(2) $\boldsymbol\beta$ 一般，$k=2,3$ 且 $A,B,C>p^{\frac{1}{6}+\varepsilon}$，其中 $\varepsilon>0$ 固定。这项工作最初受 Ganguly 和 Rajan (2023) 关于计数 $\mathbb{F}_p$ 上具有不可约特征多项式且元素位于短区间内的 $2\times2$ 矩阵的中间结果所启发。这里的新界使我们能够在更短的区间内计数此类矩阵。
英文摘要
Let $p$ be a large prime and $χ$ a non-trivial Dirichlet character modulo $p$. We study the character sum \[ \sum_{a \sim A} \sum_{b \sim B} \sum_{c \sim C} α(a,b) β(c)χ(f(a) + bc), \] where $z \sim Z$ means $Z\le z < 2Z$, $f \in \mathbb{Z}[X]$ is of small degree $k$, and $\boldsymbolα=(α(a,b))_{a\sim A,b\sim B}$ and $\boldsymbolβ=(β(c))_{c\sim C}$ are two complex coefficients. We prove non-trivial upper bounds for this sum in either of the two cases: (1) $\boldsymbolβ\equiv1$, $k=2,3,4,5$ and $A,B,C>p^{\frac{1}{8}+\varepsilon}$, (2) $\boldsymbolβ$ general, $k=2,3$ and $A,B,C>p^{\frac{1}{6}+\varepsilon}$, where $\varepsilon>0$ is fixed. This work was originally motivated by an intermediate result of Ganguly and Rajan (2023) on counting $2\times2$ matrices over $\mathbb{F}_p$ with irreducible characteristic polynomials, where the entries are in short segments. The new bounds here allow us to count such matrices in much shorter segments.
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