截断多项式在代入运算下构成的群的幂-换位子表示

中文摘要 AI 辅助

给定素数 $p$，诺丁汉群 $G(p)$ 是形式幂级数 $x+a_2x^2+a_3x^3+\cdots$（其中 $a_i\in{\bf Z}/p{\bf Z}$）在代入运算下构成的群。对于 $n\geq 1$，我们用 $G_n(p)$ 表示 $G(p)$ 关于其正规子群 $K_n=\{x+a_{n+1}x^{n+1}+a_{n+2}x^{n+2}+\cdots\\,|\\, a_i\in {\bf Z}/p{\bf Z}\}$ 的商群，即截断多项式 $x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n$（$a_i\in {\bf Z}/p{\bf Z}$）在代入运算下构成的群，它是一个阶为 $p^{n-1}$ 的 $p$-群，由 $x+x^2,\dots,x+x^n$ 生成。本文确定了 $G_{15}(p)$ 相对于 $x+x^2,\dots,x+x^{15}$ 的幂-换位子表示。这进而自动给出任意 $1\leq n<15$ 时 $G_n(p)$ 相对于 $x+x^2,\dots,x+x^n$ 的幂-换位子表示，以及任意 $n>15$ 时 $G_n(p)$ 中对应于 $x+x^2,\dots,x+x^{15}$ 的幂关系和换位子关系的初始片段。

英文摘要

Given a prime $p$, the Nottingham group $G(p)$ is the group of formal power series $x+a_2x^2+a_3x^3+\cdots$, $a_i\in{\bf Z}/p{\bf Z}$, under substitution. For $n\geq 1$, we write $G_n(p)$ for the quotient of $G(p)$ by its normal subgroup $K_n=\{x+a_{n+1}x^{n+1}+a_{n+2}x^{n+2}+\cdots\,|\, a_i\in {\bf Z}/p{\bf Z}\}$, namely the group of truncated polynomials $x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n$, $a_i\in {\bf Z}/p{\bf Z}$, under substitution, which is a $p$-group of order $p^{n-1}$ generated by $x+x^2,\dots,x+x^n$. In this paper, we determine the power-commutator presentation of $G_{15}(p)$ relative to $x+x^2,\dots,x+x^{15}$. This, in turn, automatically gives the power-commutator presentation of $G_{n}(p)$ relative to $x+x^2,\dots,x+x^{n}$ for any $1\leq n<15$, as well as the initial segments of the power and commutator relations in $G_{n}(p)$ corresponding to $x+x^2,\dots,x+x^{15}$ for any $n>15$.

发表机构

• University of Regina（里贾纳大学）

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