发表机构
College of Chemistry, Zhejiang University（浙江大学化学学院）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文通过四峰分析和两层划分注入，结合有限验证，证明了第三Borwein猜想对所有正整数成立。
AI 中文摘要
我们研究$S_n(q)=\prod_{j=1}^n\prod_{s=1}^4(1-q^{5j-s})$的系数。一个有效的四峰分析给出了对所有$n\ge1750$和每个系数由第三Borwein猜想所预测的符号模式。在剩余类$3$和$4$中的本质抵消被保留为组合振幅中的一个精确因子$e^{-5z}$，从而得到偏移鞍点方程$d-5n=n^2\beta(t)$。一个两层划分注入提供了将该分析与小度数情形连接所需的线性边界。所有连续参数估计都有显式常数；它们的有限算术比较以有理证书的形式提供。我们还描述了精确整数验证。将解析定理与作者报告的对于$1\le n\le1749$的有限验证完成相结合，给出了对每个正整数$n$的猜想符号模式。可用的补充系数记录覆盖$1\le n\le500$；所报告的全范围计算被单独标识。
英文摘要
We establish the coefficient sign patterns in the Third Borwein conjecture and the modulus-three Cubic Borwein conjecture. The analytic arguments apply for $n\ge1750$ and $n\ge500$, respectively. They combine exact dissections and positive coefficient identities near the boundary with saddle point estimates that preserve cancellation between primitive-root contributions. Paired Gaussian estimates remove the leading odd error, and explicit remainder bounds cover the complementary contours. The remaining finite intervals are checked by exact integer arithmetic. The Third finite verification through $1749$ is author-confirmed; the Cubic verification through $500$ is supported by two complete integer implementations and additional coefficient crosschecks.
