发表机构
University of California, Santa Barbara; University of California, Los Angeles; University of California, Riverside（加州大学圣塔芭芭拉分校; 加州大学洛杉矶分校; 加州大学河滨分校）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文研究小曲面（闭环面与一次穿孔环面）的$\rm{PGL}_2$ skein代数，给出显式有限表示、显式基及其乘法结构，并计算自然映射的核与代数中心，结果依赖于量子参数$q$。
AI 中文摘要
我们研究小曲面的$\rm{PGL}_2$ skein代数，重点关注闭环面与一次穿孔环面。我们给出环面与一次穿孔环面的$\rm{PGL}_2$ skein代数由生成元与关系构成的显式有限表示，类似于Bullock和Przytycki对Kauffman括号skein代数所做的表示。我们给出环面与一次穿孔环面的$\rm{PGL}_2$ skein代数的显式基，并描述环面基的乘法结构，类似于Frohman和Gelca的积到和公式。我们扭曲环面的基，得到结构常数在$\mathbb{N}[q,q^{-1}]$中的基。我们计算与一次穿孔环面和闭环面相关联的$\rm{PGL}_2$与Kauffman括号skein代数之间自然映射的核。我们计算环面的$\rm{PGL}_2$ skein代数的中心，该中心依赖于量子参数$q$的特殊化。
英文摘要
We study the $\rm{PGL}_2$ skein algebras of small surfaces, focusing on the closed torus and the once-punctured torus. We provide explicit finite presentations by generators and relations for the $\rm{PGL}_2$ skein algebra of the torus and once-punctured torus, analogous to those of Bullock and Przytycki for the Kauffman bracket skein algebras. We give explicit bases of the $\rm{PGL}_2$ skein algebras of the torus and once-punctured torus and describe the multiplicative structure of the basis for the torus, analogous to the product-to-sum formula of Frohman and Gelca. We twist the basis for the torus to obtain one with structure constants in $\mathbb{N}[q,q^{-1}].$ We compute the kernels of natural maps between the $\rm{PGL}_2$ and Kauffman bracket skein algebras associated to the once-punctured torus and closed torus. We compute the center of the $\rm{PGL}_2$ skein algebra of the torus, which depends on the specialization of the quantum parameter $q.$
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