发表机构
EPFL SB MATH; Courant Institute of Mathematical Sciences（洛桑联邦理工学院数学系; 纽约大学柯朗数学科学研究所）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文改进了临界线上黎曼zeta函数的大值估计，首次自1923年以来优化了相关测度上界，并由此对所有4<k≤12的k阶矩给出改进上界，特别证明了第六矩的积分估计，核心方法是针对平方根相位指数和的新大值估计。
AI 中文摘要
我们证明了临界线上黎曼zeta函数的新的大值估计。例如，我们首次改进了自Hardy-Littlewood（1923）以来关于满足 $|\zeta(1/2 + it)| \geq T^{1/8}$ 的 $t\in [T, 2T]$ 的测度的上界。我们的结果对所有 $4 < k \leq 12$ 的zeta函数的第 $k$ 矩给出了改进的上界。我们特别证明了 \begin{equation*} \int_{0}^{T} |\zeta(\tfrac{1}{2} + it)|^6 \\,d t \ll_\varepsilon T^{\frac{5}{4} - \frac{1}{60} + \varepsilon}. \end{equation*} 主要成分是一个关于具有平方根相位及其某些扰动的指数和的新的大值估计。这些出现在zeta函数的短二阶矩的展开中。
英文摘要
We prove new large value estimates for the Riemann zeta function on the critical line. For instance, we improve the upper bound on the measure of $t\in [T, 2T]$ with $|ζ(1/2 + it)| \geq T^{1/8}$ for the first time since Hardy-Littlewood (1923). Our results imply improved upper bounds on the $k$-th moment of zeta for every $4 < k \leq 12$. We show in particular that \begin{equation*} \int_{0}^{T} |ζ(\tfrac{1}{2} + it)|^6 \,d t \ll_\varepsilon T^{\frac{5}{4} - \frac{1}{60} + \varepsilon}. \end{equation*} The main ingredient is a new large value estimate for exponential sums with square-root phases, and certain perturbations. Those arise in the expansion of the short second moment of zeta.
Comments19 pages
