N体问题自由时间最小元的不存在性与一个分裂定理
Absence of free-time minimizers for N-body problems and a splitting theorem
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中文总结 AI 辅助
本文证明了高维N体问题中不存在定义在全实数轴上的自由时间最小元，通过推广Cheeger-Gromoll分裂定理并应用于Jacobi-Maupertuis度量，将结果从牛顿势扩展到更广的奇异次调和势类。
中文摘要 AI 辅助
对于维度$d \ge 3$中的$N$体问题，我们给出了da Luz和Maderna关于在整个实数轴上定义的自由时间最小元不存在性定理的另一种证明，并将其从牛顿势推广到更大类别的奇异次调和成对相互作用势。该证明基于以下Cheeger-Gromoll分裂定理的推广：设$(M,g)$为连通黎曼流形，$U$为光滑正函数，使得$\mathrm{Ric}_g \ge \tfrac{\Delta U}{2U}g$，且度量$Ug$和$U^{-1}g$均为完备的；若度量$Ug$允许一条直线，则函数$U$为常数且$(M,g)$沿该直线分裂。我们将此分裂定理应用于与$N$体问题相关的Jacobi-Maupertuis度量；Marchal定理的定量版本使我们能够化简到光滑势的情形。
英文摘要
For the $N$-body problem in dimension $d \ge 3$, we give an alternative proof of a theorem of da Luz and Maderna on the nonexistence of free-time minimizers defined on the entire real line, and extend it from the Newtonian potential to a larger class of singular subharmonic pairwise interaction potentials. The proof is based on the following generalization of the Cheeger-Gromoll splitting theorem: let $(M,g)$ be a connected Riemannian manifold and let $U$ be a smooth positive function such that $\mathrm{Ric}_g \ge \tfrac{ΔU}{2U}g$, and the metrics $Ug$ and $U^{-1}g$ are both complete; if the metric $Ug$ admits a line, then the function $U$ is constant and $(M,g)$ splits off that line. We apply this splitting theorem to the Jacobi-Maupertuis metric associated with the $N$-body problem; a quantitative version of Marchal's theorem enables us to reduce to the case of smooth potentials.
发表机构
- Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）
- Sorbonne Université, Université Paris Cité, CNRS, IMJ-PRG（索邦大学，巴黎西岱大学，法国国家科学研究中心，IMJ-PRG）
- Institute for Advanced Study, School of Mathematics（高等研究院，数学学院）
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