AI 中文总结
本文证明了单位球面 $S^4$ 中具有常数量曲率且三个主曲率互异的局部极小超曲面必为极小 Cartan 等参超曲面，从而肯定回答了 Bryant 猜想。
AI 中文摘要
我们证明了单位球面 $S^4$ 中具有常数量曲率且每点三个主曲率互异的局部极小超曲面 $M^3$ 必局部全等于 $S^4$ 中的极小 Cartan 等参超曲面，这为 Bryant 猜想 \ncite{ChangLocal} 提供了肯定回答。关键步骤是证明：对每个固定的 $S_0>3$，满足 $|A|^2\equiv S_0$ 的归一化局部图解的四阶 jets 集合 $\mathscr{G}_{S_0}$ 是紧的，其中 $A$ 表示形状算子。
英文摘要
We prove that a local minimal hypersurface $M^3$ in the unit sphere $S^4$ with constant scalar curvature and three distinct principal curvatures at every point must be locally congruent to the minimal Cartan isoparametric hypersurface in $S^4$, which provides a positive answer to the Bryant conjecture \cite{ChangLocal}. The key ingredient is to prove that, for each fixed \(S_0>3\), the set $\mathscr{G}_{S_0}$ of fourth-order jets of normalized local graph solutions satisfying \(|A|^2\equiv S_0\) is compact, where \(A\) denotes the shape operator.
