$\mathfrak{d}=ω_1$ 蕴含 $\mathfrak{a}=ω_1$
$\mathfrak{d}=ω_1$ implies $\mathfrak{a}=ω_1$
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在ZFC中证明$\mathfrak d=\omega_1$蕴含$\mathfrak a=\omega_1$，否定Shelah及Hrušák等人的问题，并给出保持定理构造不可破坏的MAD族。
中文摘要 AI 辅助
我们在 ZFC 中证明 $\mathfrak d=\omega_1$ 蕴含 $\mathfrak a=\omega_1$，解决了 Roitman 自 20 世纪 70 年代提出的一个问题。这里 $\mathfrak d$ 是最终支配 $\omega^\omega$ 中每个函数的最小族的大小，$\mathfrak a$ 是 $\omega$ 的无限子集的无限极大几乎不相交（MAD）族的最小大小。因此，当连续统 $\mathfrak c=2^{\aleph_0}$ 至多为 $\omega_2$ 时，$\mathfrak a\leq\mathfrak d$。这否定了 Shelah 关于 $\mathfrak d<\mathfrak a$ 与 $\mathfrak c=\omega_2$ 是否相容的问题，并表明他的模型 $\mathfrak d=\omega_2<\mathfrak a=\mathfrak c=\omega_3$ 在 $\mathfrak d<\mathfrak a$ 的模型中具有 $\mathfrak d$、$\mathfrak a$ 和 $\mathfrak c$ 的最小可能值。证明还给出了一个保持定理：从任何大小为 $\omega_1$ 的支配族，我们构造一个大小为 $\omega_1$ 的 MAD 族，该族在给定族仍然支配的任何外模型中保持极大性。因此，在 $\mathfrak d=\omega_1$ 下，某个 MAD 族对每个 $\omega^\omega$-有界力迫都是不可破坏的；它还可以被选为几乎强可分离的，因此是 Cohen 不可破坏的。这些结果在 $\mathfrak d=\omega_1$ 下否定了 Hrušák 的两个问题以及 Brendle、Guzmán、Hrušák 和 Raghavan 的一个问题。
英文摘要
We prove in ZFC that $\mathfrak d=ω_1$ implies $\mathfrak a=ω_1$, settling a question of Roitman from the 1970s. Here $\mathfrak d$ is the least size of a family that eventually dominates every function in $ω^ω$, and $\mathfrak a$ is the least size of an infinite maximal almost disjoint (MAD) family of infinite subsets of $ω$. Consequently, $\mathfrak a\leq\mathfrak d$ whenever the continuum $\mathfrak c=2^{\aleph_0}$ is at most $ω_2$. This answers negatively Shelah's question whether $\mathfrak d<\mathfrak a$ is consistent with $\mathfrak c=ω_2$, and shows that his model of $\mathfrak d=ω_2<\mathfrak a=\mathfrak c=ω_3$ has the least possible values of $\mathfrak d$, $\mathfrak a$ and $\mathfrak c$ among models of $\mathfrak d<\mathfrak a$. The proof also gives a preservation theorem: from any dominating family of size $ω_1$, we construct a MAD family of size $ω_1$ that remains maximal in every outer model in which the given family is still dominating. Thus, under $\mathfrak d=ω_1$, some MAD family is indestructible by every $ω^ω$-bounding forcing; it can moreover be chosen almost strongly separable, hence Cohen-indestructible. These results give negative answers, under $\mathfrak d=ω_1$, to two questions of Hrušák and to one of Brendle, Guzmán, Hrušák and Raghavan.
