发表机构
California Institute of Technology（加州理工学院）
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本文证明三维流形方向反转下对偶假 theta 函数的模性与复苏性两种刻画等价，并构造了满足 Pell 方程条件的整数系数新函数族，其有效中心荷不超过1，同时验证了 Li 和 Schwagenscheidt 的 mock theta 函数满足这些性质。
AI 中文摘要
三维流形 $M_{3}$ 的 $\hat{Z}$ 不变量，即 $3d$ $\mathcal{N}=2$ 理论 $T[M_{3}]$ 的半指标，对于负定 plumbed 三维流形已被充分理解。然而，对于方向反转的流形，已知公式无法产生 $q$-级数，且理解操作 $q \rightarrow q^{-1}$ 仍是一个核心开放问题。Seifert 流形，其 $\hat{Z}$ 不变量由假 theta 函数构建，提供了一个自然的测试场。我们研究“对偶假 theta 函数”，即在方向反转下应替代假 theta 函数的对象。文献中存在这些对偶的两种刻画：一种基于模性，基于具有指定阴影的 mock 模性；另一种基于复苏性，基于 Borel--Mordell 积分和 transseries。我们证明这两种刻画是等价的。我们构建了一个新的对偶假 theta 函数族，适用于满足 Pell 方程条件的正整数 $p$ 值。其成员由 Zwegers 的不定 theta 函数构建，具有整数系数，且有效中心荷 $c_{\text{eff}} \leq 1$。我们还表明，Li 和 Schwagenscheidt 的 mock theta 函数满足这些刻画，并源于发散乘积 $\eta^{3}(\tau)\psi_{p, a}(- \tau)$ 的自然正则化。
英文摘要
The $\hat{Z}$ invariant of a three-manifold $M_{3}$, a half-index of the $3d$ $\mathcal{N}=2$ theory $T[M_{3}]$, is well understood for negative-definite plumbed three-manifolds. For orientation-reversed manifolds, however, the known formulas fail to produce $q$-series, and making sense of the operation $q \rightarrow q^{-1}$ remains a central open problem. Seifert manifolds, whose $\hat{Z}$ invariants are built from false theta functions, offer a natural testing ground. We study ``dual false theta functions'', the objects that should replace false theta functions under orientation reversal. Two characterizations of these duals exist in the literature: a modular one, based on mock modularity with a prescribed shadow, and a resurgent one, based on Borel--Mordell integrals and transseries. We prove that the two characterizations are equivalent. We construct a new family of dual false theta functions for values of positive integer $p$ satisfying a Pell-equation condition. Its members are built from Zwegers' indefinite theta functions, have integer coefficients, and have effective central charge $c_{\text{eff}} \leq 1$. We also show that the mock theta functions of Li and Schwagenscheidt satisfy these characterizations and arise from a natural regularization of the divergent product $η^{3}(τ)ψ_{p, a}(- τ)$.
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