因子码网络
Factor Code Networks
- University of British Columbia（不列颠哥伦比亚大学）
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AI总结：
本文研究量子码网络何时可提升为因子码网络，给出树结构与菱形网络的充分必要条件，并刻画子代数间的交换、生成与交集性质。
AI中文摘要：
对于一个由等距映射 $T:H_{\rm code} \to H_{\rm phys}$ 定义的量子码，算子映射是一个 *-同态 $\varphi: B(H_{\rm code}) \to B(H_{\rm phys})$，从逻辑希尔伯特空间上的算子空间到物理希尔伯特空间上的算子空间，满足对 $H_{\rm code}$ 上的每个算子 ${\cal O}$ 都有 $\varphi({\cal O}) T = T {\cal O}$。当且仅当 $\dim H_{\rm code}$ 整除 $\dim H_{\rm phys}$ 时，该映射还可以取为单位的，即 $\varphi(I_{code}) = I_{phys}$。在这种情况下，$\varphi(B(H_{\rm code})$ 是 $B(H_{\rm phys})$ 的一个冯·诺依曼因子子代数，我们称配对 $(T,\varphi)$ 为因子码。码网络是一族由偏序集索引的希尔伯特空间 $\{{\cal H}_i\}$，对于 $i < j$ 有等距映射 $T_{ji}:{\cal H}_i \to {\cal H}_j$，满足对于 $i < j < k$ 有 $T_{kj} T_{ji} = T_{ki}$。在本文中，我们探讨何时可以通过定义单位算子映射 $\varphi_{ji}$ 使得 $(T_{ji}, \varphi_{ji})$ 是因子码且 $\varphi_{kj} \varphi_{ji} = \varphi_{ki}$，从而将其提升为因子码网络。我们证明，对于具有树结构的任何码网络，希尔伯特空间维数的整除条件是充分的，但在一般情况下并非如此。对于菱形网络，我们证明提升是可能的当且仅当 $T_{42} H_2$ 和 $T_{43} H_3$ 之间的主角的所有重数都能被 $H_1$ 整除。对于不可比较的 $i_1,i_2 < j$，我们刻画了 $\varphi_{j i_1} (B(H_{i_1}))$ 和 $\varphi_{j i_2} (B(H_{i_2}))$ 何时交换，何时生成整个 $B(H_j)$，以及何时它们的交集仅包含恒等算子的倍数。对于 $i < j_1,j_2 < k$，我们刻画了 $\varphi_{k j_1} (B(H_{j_1})) \cap \varphi_{k j_2} (B(H_{j_2})) = \varphi_{k i} (B(H_{i}))$ 何时成立，以及这些代数与 $B(H_k)$ 一起何时构成一个非退化的交换方。
英文摘要：
For a quantum code defined by an isometry $T:H_{\rm code} \to H_{\rm phys}$, an operator map is a *-homomorphism $φ: B(H_{\rm code}) \to B(H_{\rm phys})$ from the space of operators on the logical Hilbert space to the space of operators on the physical Hilbert space satisfying $φ({\cal O}) T = T {\cal O}$ for every operator ${\cal O}$ on $H_{\rm code}$. This can additionally be taken to be unital $φ(I_{code}) = I_{phys}$ if and only if $\dim H_{\rm code}$ divides $\dim H_{\rm phys}$. In this case, $φ(B(H_{\rm code})$ is a von Neumann factor subalgebra of $B(H_{\rm phys})$ and we call the pair $(T,φ)$ a {\it factor code}. A code network is a family of Hilbert spaces $\{{\cal H}_i\}$ indexed by a partially ordered set with isometries $T_{ji}:{\cal H}_i \to {\cal H}_j$ for $i < j$ satisfying $T_{kj} T_{ji} = T_{ki}$ for $i < j < k$. In this paper, we ask when this can be promoted to a {\it factor code network} by defining unital operator maps $φ_{ji}$ so that $(T_{ji}, φ_{ji})$ is a factor code and $φ_{kj} φ_{ji} = φ_{ki}$. We show that the divisibility conditions on Hilbert space dimensions are sufficient for any code network with a tree structure but not in general. For a diamond-shaped network, we show that promotion is possible if and only if the principle angles between $T_{42} H_2$ and $T_{43} H_3$ all have multiplicity divisible by $H_1$. For incomparable $i_1,i_2 < j$, we characterize when $φ_{j i_1} (B(H_{i_1}))$ and $φ_{j i_2} (B(H_{i_2}))$ commute, when they generate all of $B(H_j)$, and when they intersect only on multiples of the identity. For $i < j_1,j_2 < k$, we characterize when $φ_{k j_1} (B(H_{j_1})) \cap φ_{k j_2} (B(H_{j_2})) = φ_{k i} (B(H_{i}))$ and when these algebras together with $B(H_k)$ form a nondegenerate commuting square.
