缩放 $q$-数值域的膨胀理论

中文摘要 AI 辅助

我们将Berger的膨胀定理从数值域推广到缩放 $q$-数值域。具体地，我们证明如果缩放 $q$-数值域 $\frac{W_q(A)}{q}$ 包含在闭单位圆盘内，则 $A$ 允许一个酉 $\rho_q$-膨胀，其中 $\rho_q=\max\left\{1,\frac{2|q|}{1+\sqrt{1-|q|^2}}\right\}$。作为推论，我们证明包含 $\Omega_q(A)$ 的每个圆盘都是 $A$ 的完全 $\rho_q$-谱集。当 $q=1$ 时，这恢复了经典事实：包含 $W(A)$ 的任何圆盘都是 $A$ 的完全 $2$-谱集。

英文摘要

We generalise Berger's dilation theorem from numerical ranges to scaled $q$-numerical ranges. Specifically, we prove that if the scaled $q$-numerical range $\frac{W_q(A)}{q}$ is contained in the closed unit disk, then $A$ admits a unitary $ρ_q$-dilation, where $$ ρ_q=\max\left\{1,\frac{2|q|}{1+\sqrt{1-|q|^2}}\right\}. $$ As a corollary we show that every disk containing $Ω_q(A)$ is a complete $ρ_q$-spectral set for $A$. At $q=1$, this recovers the classical fact that any disk containing $W(A)$ is a complete $2$-spectral set for $A$.

发表机构

• University of Eastern Finland（东芬兰大学）
• University of Reading（雷丁大学）
• University of Helsinki（赫尔辛基大学）

机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。