发表机构
School of Mathematics and Statistics, Changsha University of Science and Technology（长沙理工大学数学与统计学院）
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本文证明相容性条件(MT4)是预突变三元组诱导的典范预三角结构成为三角结构的充要条件，并构造反例否定Iitsuka的一个问题。
AI 中文摘要
设 $(\u200b\mathcal{S},\mathcal{Z},\mathcal{V})$ 是外三角范畴中的一个预突变三元组，令 $\mathcal{I}=\mathcal{S}\cap\mathcal{Z}=\mathcal{Z}\cap\mathcal{V}$。Iitsuka 引入预突变三元组作为多种突变构造的统一框架，并证明了商范畴 $\mathcal{Z}/[\mathcal{I}]$ 具有典范的预三角结构。本文证明相容性条件 $(\mathrm{MT4})$ 不仅是该结构成为三角结构的充分条件，也是必要条件。因此，$(\mathrm{MT4})$ 精确刻画了 Iitsuka 的典范预三角结构何时成为三角结构。此外，我们证明对于同心孪生余挠对，Nakaoka 在构造三角商时使用的相容性条件等价于 $(\mathrm{MT4})$。最后，我们构造了一个显式的可约三元组，它不是突变三元组，从而对 Iitsuka 提出的一个问题给出了否定回答。
英文摘要
Let $(\mathcal{S},\mathcal{Z},\mathcal{V})$ be a premutation triple in an extriangulated category. Set $\mathcal{I}=\mathcal{S}\cap\mathcal{Z}=\mathcal{Z}\cap\mathcal{V}$. Iitsuka introduced premutation triples as a unified framework for various mutation constructions and showed that the quotient category $\mathcal{Z}/[\mathcal{I}]$ admits a canonical pretriangulated structure. In this paper, we prove that the compatibility condition $(\mathrm{MT4})$ is not only sufficient but also necessary for this structure to be triangulated. Therefore, $(\mathrm{MT4})$ precisely characterizes when Iitsuka's canonical pretriangulated structure becomes triangulated. Furthermore, we prove that, for concentric twin cotorsion pairs, the compatibility condition used by Nakaoka in the construction of triangulated quotients is equivalent to $(\mathrm{MT4})$. Finally, we construct an explicit reducible triple which is not a mutation triple. This gives a negative answer to a question posed by Iitsuka.
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