检测自由-by-Demuškin 专业 $p$ 群中的上同调维数三
Detecting Cohomological Dimension Three in Free-by-Demuškin Pro-$p$ Groups
AI总结：
本文针对自由-by-Demuškin 专业 $p$ 群，证明其上同调维数三可由自由核的第一 Frattini 层上的不动点条件 $W^D\neq0$ 完全检测，并给出低维分支的完整准则。
AI中文摘要：
设 $1\longrightarrow N\longrightarrow G\longrightarrow D\longrightarrow1$ 为正合列，其中 $N\neq1$ 为任意秩的自由专业 $p$ 群，$D$ 为 Demuškin 群。记 $W=N/\Phi(N)$，我们证明 $$H^3(G,\mathbb{F}_p)^\vee\simeq W^D,\qquad \textrm{cd}_p G=3\text{ 当且仅当 }W^D\neq0.$$ 因此，维数三可在自由核的第一 Frattini 层上被检测到。有限秩的核总是满足该准则，故维数下降需要无限秩的核，而该准则在过渡到开子群时保持稳定。在不动点自由区域 $W^D=0$ 上，剩余的维数一/二的选择由 $H^1(D,W^\vee)$ 连同 Hochschild--Serre transgressions 控制。对后者进行对偶化，在 $W$ 的拓扑余不变量中产生一个关系缺陷类，该类别可通过 Demuškin 商的一个提升定义关系进行显式描述。这为低维分支提供了完整准则，并将最高次不动点障碍与控制维数一和二的扩张数据分离开来。
英文摘要：
Let \[1\longrightarrow N\longrightarrow G\longrightarrow D\longrightarrow1\] be exact, with $N\neq1$ free pro-$p$ of arbitrary rank and $D$ Demuškin. Writing $W=N/Φ(N)$, we prove \[H^3(G,\mathbb{F}_p)^\vee\simeq W^D,\qquad \textrm{cd}_p G=3\text{ if and only if }W^D\neq0.\] Thus dimension three is detected on the first Frattini layer of the free kernel. Finite-rank kernels always satisfy the criterion, so a dimension drop requires an infinite-rank kernel, while the criterion remains stable under passage to open subgroups. On the fixed-point-free locus $W^D=0$, the remaining dimension-one/two alternative is governed by $H^1(D,W^\vee)$ together with the Hochschild--Serre transgression. Dualizing the latter produces a relation-defect class in the topological coinvariants of $W$, which admits an explicit description in terms of a lifted defining relation of the Demuškin quotient. This yields a complete criterion for the lower-dimensional branch and separates the top-degree fixed-point obstruction from the extension data controlling dimensions one and two.
