发表机构
CWI; Télécom Paris, Institut Polytechnique de Paris; University of Technology Sydney; University of Amsterdam（荷兰国家数学与计算机科学研究中心; 巴黎理工学院电信学院; 悉尼科技大学; 阿姆斯特丹大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文提出三个量子算法结果，分别以对数查询数学习一般线性阈值函数、以对数查询数识别齐次LTF的稀疏支撑集，以及基于Hermite变换在高斯分布下高效学习齐次LTF，均优于经典算法。
AI 中文摘要
线性阈值函数（LTF）定义为 $f_{w,\theta}(x)=\text{sign}(\langle x,w \rangle -\theta)$，其中权重向量 $w\in\mathbb{R}^n$ 是单位向量，$\theta\in\mathbb R$ 是阈值，通常 $x\in\mathbb{R}^n$ 或 $x\in\{-1,1\}^n$。当 $\theta=0$ 时，LTF 称为齐次的，我们记 $f_w:=f_{w,0}$。这类函数是机器学习中最重要的对象之一，因为它们用于线性区分正例和负例。我们给出了关于学习 LTF 的三个正面结果：1. 假设我们可以进行实数域查询，即可以在我们选择的任意 $x\in\mathbb{R}^n$ 处计算 $f_{w,\theta}(x)$。我们给出一个量子算法，使用 $O(\log(n/\epsilon))$ 次成员查询和 $\widetilde{O}(n)$ 个其他门，学习 $f_{w,\theta}$ 达到欧几里得误差~$\epsilon$。然后当 $x$ 服从高斯分布时，我们也学习了 $f_{w,\theta}$ 达到误差 $O(\epsilon)$。经典算法需要 $\Omega(n\log(1/\epsilon))$ 次查询。2. 在定义域 $\{-1,1\}^n$ 上的齐次 LTF $f_w$，其中 $w$ 只有 $k$ 个非零分量且值相同，就是 $w$ 支撑集上的多数函数。Belovs 给出了一个有界误差量子算法，使用 $O(k^{1/4})$ 次查询精确识别隐藏支撑集（从而学习 $f_w$）。我们给出了指数改进，使用 $O(\log k)$ 次查询。3. 假设我们有一个酉算子 $U$，可以在高斯测度下产生（离散化的）\emph{量子示例}，对应于 $\int_x \sqrt{\gamma_n(x)}|x\rangle |f_w(x)\rangle dx$。这是一个比成员查询更弱的访问模型。我们基于 Jain 等人的高效 \emph{Hermite 变换} 给出一个量子算法，在高斯分布下学习齐次 LTF~$f_w$ 达到误差~$\epsilon$，使用 $O(n^{1/4}/\sqrt{\epsilon})$ 次 $U$ 和 $U^\dagger$ 的应用以及 $\widetilde{O}(n^2/\epsilon^4)$ 个其他门。
英文摘要
Linear threshold functions are $f_{w,θ}(x)=\text{sign}(\langle x,w \rangle -θ)$, where the weight vector $w\in\mathbb{R}^n$ is a unit vector, $θ\in\mathbb R$ is a threshold, and typically $x\in\mathbb{R}^n$ or $x\in\{-1,1\}^n$. When $θ=0$, the LTF is called homogeneous, and we write $f_w:=f_{w,0}$. Such functions are among the most important objects in machine learning, since they serve to linearly discriminate positive and negative examples. We give three positive results about learning LTFs: 1. Suppose we can make real-domain queries, meaning we can compute $f_{w,θ}(x)$ at any $x\in\mathbb{R}^n$ of our choice. We give a quantum algorithm that learns $f_{w,θ}$ up to Euclidean error $ε$ using $O(\log(n/ε))$ membership queries and $\widetilde{O}(n)$ other gates. Then we have also learned $f_{w,θ}$ up to error $O(ε)$ when $x$ is Gaussian. Classical algorithms need $Ω(n\log(1/ε))$ queries. 2. A homogeneous LTF $f_w$ on domain $\{-1,1\}^n$ where $w$ has only $k$ nonzero entries of the same value, is the Majority function on the support of $w$. Belovs gave a bounded-error quantum algorithm that identifies the hidden support exactly (and hence learns $f_w$) using $O(k^{1/4})$ queries. We give an exponential improvement, using $O(\log k)$ queries. 3. Suppose we have a unitary $U$ that can produce (discretized) quantum examples under Gaussian measure, corresponding to $\int_x \sqrt{γ_n(x)}|x\rangle |f_w(x)\rangle dx$. This is a weaker access model than membership queries. We give a quantum algorithm based on the efficient Hermite transform of Jain et al. to learn homogeneous LTFs $f_w$ with error $ε$ under the Gaussian distribution, using $O(n^{1/4}/\sqrtε)$ applications of $U$ and $U^\dagger$ and $\widetilde{O}(n^2/ε^4)$ other gates.
Commentsv2: In section 3, new optimal lower bound. Small improvements in the presentation
