发表机构
AWS Center for Quantum Computing; California Institute of Technology; Alfréd Rényi Institute of Mathematics; University of California, Berkeley（亚马逊量子计算中心; 加州理工学院; 阿尔弗雷德·雷尼数学研究所; 加利福尼亚大学伯克利分校）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文提出首个亚线性时间经典算法求解稀疏半定规划，通过经典实现量子 OR 引理的样本重用机制，结合随机 Lanczos 滤波和在线学习，在常见参数下达到与量子算法匹配的复杂度，证明无超二次量子优势。
AI 中文摘要
我们首次给出了在有界半径条件下求解稀疏半定规划的亚线性时间经典算法，该算法不依赖低秩假设，也不依赖于约束矩阵的 Frobenius 范数。对于常数精度和有界的主对偶半径，Brandão 等人（2019）和 van Apeldoorn 与 Gilyén（2019）的先前量子算法实现了对矩阵维度 n 和约束数量 m 的 $\tilde{O}(\sqrt{n}+\sqrt{m})$ 依赖。与现有经典方法的 $\tilde{O}(mn)$ 运行时间相比，当 m ≈ n 时，这暗示了四次方的量子加速。除了通常的 Grover 加速之外，这种分离依赖于量子 OR 引理，其样本重用机制将 Gibbs 态制备的成本与约束搜索解耦。我们证明这种重用机制对于稀疏 SDP 是经典可实现的。我们的主要技术贡献是一个经典程序，用于同时估计相对于稀疏哈密顿量的 Gibbs 态的许多期望值。这结合了随机 Lanczos 滤波和高效的基于采样的估计器。我们还引入了一个用于 SDP 求解的随机在线学习框架，显著提高了相对于标准基于 oracle 的 MMWU 方法的精度依赖性。设 s 表示输入矩阵的稀疏度，γ := Rr/ε 捕获对原始半径 (R) 和对偶半径 (r) 以及目标精度 (ε) 的依赖。当 γ² ≤ min{m, n/s} 时，我们的求解器运行时间为 $\tilde{O}(nsγ^{4.5} + msγ^2)$。对于 γ = O(1)，这是 $\tilde{O}((n+m)s)$，并且相对于 O(mns) 的输入大小是亚线性的。与量子算法类似，这匹配了关于 m 和 n 的已知下界，直到对数因子。这意味着，就维度 m 和 n 而言，对于一般的稀疏 SDP 求解，不存在超二次方的量子优势。
英文摘要
We give the first sublinear-time classical solvers for sparse semidefinite programs in the bounded-radius regime, without low-rank assumptions or Frobenius norm dependence on the constraint matrices. For constant precision and bounded primal and dual radii, prior quantum algorithms of Brandão et al. (2019) and van Apeldoorn and Gilyén (2019) achieved $\widetilde{O}(\sqrt{n}+\sqrt{m})$ dependence on matrix dimension $n$ and constraint number $m$. Compared with the $\widetilde{O}(mn)$ runtime of existing classical methods, this suggests a quartic quantum speedup when $m \approx n$. Beyond a usual Grover speedup, this separation relies on the Quantum OR lemma, whose sample-reuse mechanism decouples the cost of Gibbs-state preparation from constraint search. We show that this reuse mechanism is classically realizable for sparse SDPs. Our main technical contribution is a classical procedure for simultaneously estimating many expectation values with respect to a sparse Hamiltonian's Gibbs state. This combines randomized Lánczos filtering with an efficient sampling-based estimator. We also introduce a stochastic online-learning framework for SDP solving, substantially improving accuracy-dependence over standard oracle-based MMWU approaches. Let $s$ denote the the input matrix sparsity and $γ:=Rr/\varepsilon$ capture dependence on the primal $(R)$ and dual $(r)$ radii as well as target accuracy $(\varepsilon)$. When $γ^2\leq\min\{m,n/s\}$, our solver runs in time $\widetilde{O}\left(nsγ^{4.5}+msγ^2\right)$. For $γ=O(1)$, this is $\widetilde{O}\left((n+m)s\right)$ and sublinear in the $O(mns)$ input size. Similar to the quantum algorithms, this matches known lower bounds with respect to $m$ and $n$, up to logarithmic factors. This implies that, with respect to dimensions $m$ and $n$, there is no super-quadratic quantum advantage for generic sparse SDP solving.
