平坦连接图上的 $st$-输运量子算法

中文摘要 AI 辅助

我们研究无向 $st$-连通性到边携带量子操作的图的一种推广。设 $G=(V,E)$ 为 $n$ 个顶点上的无向图，其中每条边 $\{u,v\}$ 标记一个酉矩阵 $U_{uv}\in\mathbb{C}^{k\times k}$，且 $U_{vu}=U_{uv}^\dagger$。我们假设这些标记构成一个 \u201c平坦\u201d连接：沿任意一对顶点 $u$ 和 $v$ 之间的任意路径，标记的有序乘积与路径无关。等价地，该连接是纯规范（pure gauge）的，即规范等价于平凡连接；这样的图正是谱图理论中的一致连接图（consistent connection graphs）以及群同步（group synchronization）的无噪声实例。因此，只要 $s$ 和 $t$ 连通，将态从 $s$ 输运到 $t$ 就定义了一个唯一的酉矩阵 $U_s(t)$。给定态 $|\psi_s\rangle,|\psi_t\rangle\in\mathbb{C}^k$ 以及一个预言机，该预言机在相干地应用相应边酉矩阵的同时返回顶点的邻居，$st$-输运问题（$st$-transport problem）是判定 $s$ 和 $t$ 是否连通，若连通，则估计 $U_s(t)|\psi_s\rangle$ 与 $|\psi_t\rangle$ 之间的平方重叠，误差为加性误差 $\varepsilon$。当 $k=1$ 且所有标记平凡时，这正是无向 $st$-连通性。我们给出一个 $st$-输运的有界误差量子算法，运行时间为 $\widetilde{O}(n/\varepsilon)$，空间为 $O(\log n+\log k+\log(1/\varepsilon))$。我们通过设计一个换能器（transducer）并对输入图应用 Metropolis-Hastings 重加权来实现这一点。我们还证明了一个 $\Omega(n)$ 的量子查询下界，即使当 $s$ 和 $t$ 被承诺连通时也成立，因此对于常数 $\varepsilon$，我们的算法在多项式对数因子内是最优的。

英文摘要

We study a generalization of undirected $st$-connectivity to graphs whose edges carry quantum operations. Let $G=(V,E)$ be an undirected graph on $n$ vertices in which each edge $\{u,v\}$ is labeled by a unitary $U_{uv}\in\mathbb{C}^{k\times k}$, with $U_{vu}=U_{uv}^\dagger$. We assume the labels form a \emph{flat} connection: the ordered product of labels along any path between a pair of vertices $u$ and $v$ is independent of the path. Equivalently, the connection is pure gauge, i.e., gauge-equivalent to the trivial connection; such graphs are exactly the consistent connection graphs of spectral graph theory and the noiseless instances of group synchronization. Consequently, whenever $s$ and $t$ are connected, transporting a state from $s$ to $t$ defines a unique unitary $U_s(t)$. Given states $|ψ_s\rangle,|ψ_t\rangle\in\mathbb{C}^k$ and an oracle that returns the neighbours of a vertex while coherently applying the corresponding edge unitaries, the \emph{$st$-transport problem} is to decide whether $s$ and $t$ are connected and, if so, to estimate the squared overlap between $U_s(t)|ψ_s\rangle$ and $|ψ_t\rangle$ to additive error $\varepsilon$. When $k=1$ and all labels are trivial, this is exactly undirected $st$-connectivity. We give a bounded-error quantum algorithm for $st$-transport that runs in time $\widetilde{O}(n/\varepsilon)$ and uses $O(\log n+\log k+\log(1/\varepsilon))$ space. We do this by designing a transducer and applying a Metropolis-Hastings reweighting to the input graph. We also prove an $Ω(n)$ quantum query lower bound that holds even when $s$ and $t$ are promised to be connected, so for constant $\varepsilon$ our algorithm is optimal up to polylogarithmic factors.

发表机构

• QuSoft & CWI, Amsterdam（QuSoft 与 荷兰数学和计算机科学研究学会）
• University of Amsterdam（阿姆斯特丹大学）
• QLever
• Institut für Theoretische Physik and L3S Research Center, Leibniz Universität Hannover（汉诺威莱布尼茨大学理论物理研究所及 L3S 研究中心）

机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。

补充信息

备注

34 pages, 3 figures