发表机构
Indian Institute of Technology (Indian School of Mines)（印度理工学院（矿业学院））
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文严格研究了辛谱函数的可微性与Clarke广义梯度，证明了其可微性等价于对称函数在辛特征值处的可微性，并应用于玻色子高斯态的纯度、von Neumann熵和Rényi熵的Fréchet导数计算。
AI 中文摘要
一个 $2n \times 2n$ 实正定矩阵 $A$ 的辛谱函数是其辛特征值 $0< d_1(A) \leq \cdots \leq d_n(A)$ 的函数，由某个在正元素 $n$ 维向量集合上的对称函数 $f$ 与辛特征值向量映射 $d(A)=(d_1(A),\ldots, d_n(A))$ 的复合 $f \circ d$ 给出。在本工作中，我们严格研究了辛谱函数的各种可微性类型和 Clarke 广义梯度，并提供了我们发现的若干应用。我们证明了辛谱函数 $f \circ d$ 在 $A$ 处 Fréchet 可微当且仅当 $f$ 在 $d(A)$ 处 Fréchet 可微，并显式地计算了导数表达式。我们还证明了 $f \circ d$ 在 $A$ 处严格 Fréchet 可微（分别地，连续 Gâteaux 可微）当且仅当 $f$ 在 $d(A)$ 处严格 Fréchet 可微（分别地，连续 Gâteaux 可微）。我们确定了辛谱函数 $f \circ d$ 在 $A$ 处的 Clarke 广义梯度，该梯度由 $f$ 在 $d(A)$ 处的 Clarke 广义梯度给出。作为我们工作的一个应用，我们证明了玻色子忠实高斯态的纯度、von Neumann 熵和 Rényi 熵是高斯态协方差矩阵的 Fréchet 可微函数。我们还提供了它们的 Fréchet 导数的显式表达式。
英文摘要
A symplectic spectral function of a $2n \times 2n$ real positive definite matrix $A$ is a function of its symplectic eigenvalues $0< d_1(A) \leq \cdots \leq d_n(A)$, which is given by a composition $f \circ d$ of some symmetric function $f$ on the set of $n$-vectors with positive entries and the symplectic eigenvalue vector map $d(A)=(d_1(A),\ldots, d_n(A))$. In this work, we rigorously study various types of differentiability and Clarke generalized gradient of symplectic spectral functions, and also provide several applications of our findings. We show that the symplectic spectral function $f \circ d$ is Fréchet differentiable at $A$ if and only if $f$ is Fréchet differentiable at $d(A)$, and we compute the derivative expression explicitly. We also show that $f \circ d$ is strictly Fréchet differentiable (respectively, continuously Gâteaux differentiable) at $A$ if and only if $f$ is strictly Fréchet differentiable (respectively, continuously Gâteaux differentiable) at $d(A)$. We determine the Clarke generalized gradient of a symplectic spectral function $f \circ d$ at $A$, which is given in terms of the Clarke generalized gradient of $f$ at $d(A)$. As an application of our work, we show that the purity, von Neumann entropy, and Rényi entropy of a bosonic faithful Gaussian state are Fréchet differentiable functions of the covariance matrix of the Gaussian state. We also provide explicit expressions of their Fréchet derivatives.
