Hadamard 局部适定性：具有自由表面的可压缩液体
Hadamard Local Well-Posedness for Compressible Liquids with a Free Surface
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本文证明了无表面张力三维可压缩液体自由表面欧拉方程在 Hadamard 意义下的局部适定性，通过正则化算子与能量估计建立了混合 Sobolev 类中的存在唯一性与连续依赖性。
中文摘要 AI 辅助
我们证明了在 Hadamard 意义下，描述具有自由表面且无表面张力的液体的三维可压缩欧拉方程的局部适定性。在 Taylor 符号条件和边界相容性条件下，我们建立了对于所有 $s>3$ 的混合 Sobolev 类中的存在性、唯一性和强连续依赖性。速度和界面具有 $H^s$ 正则性，而焓和速度散度分别属于 $H^{s+1/2}$ 和 $H^{s-1/2}$。这种分离反映了非退化声学方程与自由表面和涡度动力学的耦合。证明使用了正则化算子，这些算子平滑移动域并扩展非线性相容性层级，同时使用不同域上解的 $L^2$ 和部分 $H^2$ 距离估计。正则解通过正则化前向欧拉格式构造。高阶能量估计和频率包络随后产生光滑近似的强收敛性和数据到解映射的连续性。整数 Sobolev 指数使用 Lions--Magenes 端点相容性条件处理。
英文摘要
We prove local well-posedness in the Hadamard sense for the three-dimensional compressible Euler equations governing a liquid with a free surface and no surface tension. Under the Taylor sign condition and the boundary compatibility conditions, we establish existence, uniqueness, and strong continuous dependence in a hybrid Sobolev class for every $s>3$. The velocity and interface have $H^s$ regularity, while the enthalpy and velocity divergence belong to $H^{s+1/2}$ and $H^{s-1/2}$, respectively. This separation reflects the coupling of a nondegenerate acoustic equation with the free-surface and vorticity dynamics. The proof uses regularization operators that smooth the moving domain and extend the nonlinear compatibility hierarchy, together with $L^2$ and partial $H^2$ distance estimates for solutions on different domains. Regular solutions are constructed by a regularized forward Euler scheme. High-order energy estimates and frequency envelopes then yield strong convergence of smooth approximations and continuity of the data-to-solution map. Integer Sobolev indices are treated using a Lions--Magenes endpoint compatibility condition.
发表机构
- City University of Hong Kong（香港城市大学）
- Tsinghua University（清华大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
