发表机构
Université Paris-Dauphine; Mathematical Institute, Oxford; The Weizmann Institute of Science（巴黎第九大学; 牛津大学数学研究所; 魏茨曼科学研究所）
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研究大次数随机多项式的伽罗瓦群，证明在Rényi熵条件下判别式为平方的概率为O(1/log n)，从而以高概率获得对称群。
AI 中文摘要
我们研究形如 $R(x)=x^n+\nomega_{n-1}x^{n-1}+\ncdots+\nomega_0$ 的随机多项式，其中 $\omega_0,\dots,\omega_{n-1}$ 是独立、一致有界的整数值随机变量，且 $\omega_1,\dots,\omega_{n-1}$ 具有固定的共同分布 $\mu$。我们（无条件地）证明：若 $2$ 阶 Rényi 熵满足 $H_2(\mu)=-\log\\|\mu\\|_2^2>12$，则 $\mathbb{P}(\operatorname{disc}(R)\text{ 是平方数})=O_\mu(1/\log n)$。结合先前结果，这表明：对于此类分布 $\mu$ 且在附加假设下，当条件于 $\omega_0\ne 0$ 时，$R$ 以高概率具有完全伽罗瓦群 $\mathrm{Sym}(n)$。
英文摘要
We study random polynomials of the form $R(x)=x^n+ω_{n-1}x^{n-1}+\cdots+ω_0$, where $ω_0,\dots,ω_{n-1}$ are independent, uniformly bounded integer-valued random variables, and $ω_1,\dots,ω_{n-1}$ have a fixed common law $μ$. We prove (unconditionally) that, if the Rényi entropy of order $2$ satisfies $H_2(μ)=-\log\|μ\|_2^2>12$, then $\mathbb{P}(\operatorname{disc}(R)\text{ is a square})=O_μ(1/\log n)$. Combined with previous results, this shows that, for such measures $μ$ and under additional hypotheses, $R$ has full Galois group $\mathrm{Sym}(n)$ with high probability, when conditioned on $ω_0\ne 0$.
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