发表机构
Vrije Universiteit Brussel（布鲁塞尔自由大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文研究有限仿射平面中点的等分布方向，给出恰好3个非等分布方向的点集构造并证明其完备性，同时利用代数图论证明相关交集等式并引入交叉确定方向的概念。
AI 中文摘要
我们研究了仿射平面中确定方向的一个最近引入的推广。仿射平面中的一个方向 $(d)$ 是射影完备化中无穷远直线上的一个点，因此对应于一个平行类。如果来自该平行类的所有直线与点（多重）集 $S$ 的交点数量相同，则称 $S$ 从方向 $(d)$ 是等分布的。在本文中，我们给出了在任何有限平移平面中恰好从 3 个方向非等分布的点（多重）集的构造，并证明了所有这样的（多重）集都源于此构造，推广了 Kiss 和 Somlai 在素数阶 Desargues 平面中的一个结果。我们还利用代数图论的思想来证明与两个点集 $S$ 和 $T$ 相关的方向的结果。如果对于每个方向 $(d)$，$S$ 或 $T$ 中至少有一个从 $(d)$ 是等分布的，我们证明 $|S \cap T| = |S||T|/q^2$，其中 $q$ 是仿射平面的阶。在附录中，我们给出了证明该等式的组合替代方法，该方法可能具有独立的意义。我们还引入了由一对集合 $S$ 和 $T$ 交叉确定的方向的概念，并证明如果 $(S,T)$ 交叉确定至多一半的方向，则 $|S| |T| \leq q^2$，其中等式成立当且仅当 $S = T$。
英文摘要
We investigate a recently introduced generalisation of determined directions in affine planes. A direction $(d)$ in an affine plane is a point of the line at infinity in the projective completion, and hence corresponds to a parallel class. A (multi)set $S$ of points is equidistributed from direction $(d)$ if all lines from that parallel class intersect $S$ in the same number of points. In this paper, we give a construction of point (multi)sets that are inequidistributed from exactly 3 directions in any finite translation plane, and prove that all such (multi)sets arise from this construction, generalising a result of Kiss and Somlai in Desarguesian planes of prime order. We also use ideas from algebraic graph theory to prove results on directions associated with a pair of point sets $S$ and $T$. If for every direction $(d)$ either $S$ or $T$ is equidistributed from $(d)$, we prove that $|S \cap T| = |S||T|/q^2$, where $q$ is the order of the affine plane. In the appendix, we give a combinatorial alternative approach to proving this equality, which can be of independent interest. We also introduce the notion of directions cross-determined by a pair of sets $S$ and $T$, and prove that $|S| |T| \leq q^2$ if $(S,T)$ cross-determines at most half of the directions, where equality forces $S = T$.
Comments15 pages
