Koteljanskii 不等式的一个积和式类比
A Koteljanskii inequality for permanents
- TU Munich, Dept. of Mathematics, School of CIT（慕尼黑工业大学数学系信息学学院）
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AI总结：
本文证明了 Koteljanskii 不等式的积和式版本，适用于经正对角相似变换后对称的逆 M-矩阵，利用复高斯矩和 Ginibre 不等式证明，并给出反例说明对称性不可或缺。
AI中文摘要：
我们证明了 Koteljanskii 不等式的一个积和式类比。若 $A$ 是一个逆 $M$-矩阵，且经过正对角相似变换后变为对称矩阵，则对所有 $S,T\subseteq[n]$，有 $\mathrm{per}(A_{S\cup T})\\,\mathrm{per}(A_{S\cap T})\ge\mathrm{per}(A_S)\\,\mathrm{per}(A_T)$，其中 $A_S$ 是由 $S$ 索引的主子矩阵。证明将积和式表示为复高斯向量的矩，并使用了 Ginibre 的相关不等式。最后，一个显式反例表明对称性条件不可省略。
英文摘要：
We prove a permanental analogue of Koteljanskii's inequality. If $A$ is an inverse $M$-matrix that becomes symmetric after a positive diagonal similarity, then $\mathrm{per}(A_{S\cup T})\,\mathrm{per}(A_{S\cap T})\ge\mathrm{per}(A_S)\,\mathrm{per}(A_T)$ for all $S,T\subseteq[n]$, where $A_S$ is the principal submatrix indexed by $S$. The proof expresses permanents as moments of a complex Gaussian vector and uses Ginibre's correlation inequality. Finally, an explicit counterexample shows that symmetry cannot be dropped.
