$\mathbb F_q^{2m}$ 中的尖锐球面扩展定理及其应用
Sharp spherical extension theorem in $\mathbb F_q^{2m}$ and applications
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本文证明有限域上球面扩展定理的尖锐形式，并应用于点集距离问题，结合Hecke算子与维数归纳。
中文摘要 AI 辅助
设 $q$ 为奇素数幂且 $m\geq 1$。设 $Q$ 为 $\mathbb F_q^{2m}$ 上的非退化二次型。对于每个球面 $S_j=\{Q=j\}$（其中 $j\in \mathbb F_q^\times$），我们证明尖锐扩展估计 $R_{S_j}^*(2\to r)\lesssim_m1$ 对所有 $r\ge 2(m+1)/m$ 成立，且该估计在 $q$、$Q$ 和 $j$ 上一致。作为应用，我们证明若 $E\subseteq\mathbb F_q^{2m}$ 满足 $|E|/q^{m+1/3}\to\infty$，则几乎每个针点 $y\in E$ 确定 $(1-o(1))q$ 个 $Q(x-y)$ 的值。证明结合了两个算术 Hecke 算子估计与维数归纳、中心球面-锥估计以及正交分解。
英文摘要
Let $q$ be an odd prime power and $m\geq 1$. Let $Q$ be a nondegenerate quadratic form on $\mathbb F_q^{2m}$. For every sphere $S_j=\{Q=j\}$ with $j\in \mathbb F_q^\times$, we prove the sharp extension estimate $R_{S_j}^*(2\to r)\lesssim_m1$ for $r\ge 2(m+1)/m$, uniformly in $q$, $Q$, and $j$. As an application, we show that if $E\subseteq\mathbb F_q^{2m}$ satisfies $|E|/q^{m+1/3}\to\infty$, then almost every pin $y\in E$ determines $(1-o(1))q$ values of $Q(x-y)$. The proof combines two arithmetic Hecke operator estimates with an induction in the dimension, a centered sphere--cone estimate, and an orthogonal decomposition.
发表机构
- Institute of Mathematics and Interdisciplinary Sciences, Xidian University（西安电子科技大学数学与 interdisciplinary 科学研究所）
- Institute of Mathematical Sciences, ShanghaiTech University（上海科技大学数理学院）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
