关于调和Landau半径的Liu-Luo-Luo猜想的一个反例

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我们否证了Liu、Luo和Luo（2020年）关于有界平面调和映射的Landau半径的一个猜想。我们构造了一个显式的调和映射$F_M$，满足标准规范化条件，该映射在经典全纯Landau圆盘内部对所有$M > M^* \approx 4.451$严格地不是局部单叶的。通过将此反例与Ponnusamy、Kalaj和Vuorinen（2014年）建立的下界相结合，我们证明了调和Landau半径的精确渐近为$\frac{\pi}{8M}$。

英文摘要

We disprove a conjecture of Liu, Luo, and Luo (2020) concerning the Landau radius for bounded planar harmonic mappings. We construct an explicit harmonic mapping $F_M$ satisfying the standard normalization conditions, which fails to be locally univalent strictly within the classical holomorphic Landau disk for all $M > M^* \approx 4.451$. By combining this counterexample with the lower bound established by Ponnusamy, Kalaj, and Vuorinen (2014), we demonstrate that the exact asymptotics of the harmonic Landau radius is $\fracπ{8M}$.

发表机构

• Lomonosov Moscow State University（莫斯科国立罗蒙诺索夫大学）

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