偶数维 $\\(\mathbb R^m\\)$ 子流形的尺度不变几何能量的临界点的正则性
Regularity of critical immersions for scale-invariant curvature energies in even dimensions
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中文总结 AI 辅助
本文证明偶数维闭流形浸入 $\mathbb R^m$ 的尺度不变曲率能量的弱临界点在自然 Sobolev 类中，若度量系数有界，则在调和坐标下实解析，通过几何守恒律和椭圆估计实现完全正则性。
中文摘要 AI 辅助
我们考虑将偶数维闭流形 $n=2h$ 浸入 $\mathbb R^m$ 的尺度不变曲率能量，其主项为 $\int_{\Sigma} \big|\nabla^{(h-1)} \vec{\mathrm{I\\!I}}\big|_g^2\\,d\text{vol}_g$，并包含任意低阶多项式外在不变量，且具有相同的缩放行为。沿用与 Bernard、Martino 和 Rivière 合作研究中发展的四维方法，我们证明：在自然 Sobolev 类 $W^{h+1,2}$ 中，每个弱临界浸入，若其诱导度量及其逆矩阵具有 $L^\infty$ 系数，则在调和坐标下是实解析的。证明结合了几何守恒律、额外的结构恒等式以及具有临界 Sobolev 系数的椭圆估计，以获得 Morrey 衰减并自举至完全正则性。
英文摘要
For immersions of a closed $2h$-dimensional manifold $Σ$ into $\mathbb R^m$, we consider curvature energies that are invariant under ambient isometries and dilations, with the principal term $\int_Σ \big|\nabla^{(h-1)} \vec{\mathrm{I\!I}}\big|_g^2\,d\text{vol}_g$ and lower-order submanifold invariants. Following the four-dimensional approach developed in joint work with Bernard, Martino, and Rivière, we prove that every weak critical immersion in the natural Sobolev class $W^{h+1,2}$, whose induced metric and its inverse have $L^\infty$ coefficients, is real-analytic in harmonic coordinates. The proof combines geometric conservation laws, structural identities, and elliptic estimates with critical Sobolev coefficients to obtain Morrey decay and bootstrap to full regularity.
发表机构
- ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
