Hagendorf 序型
Hagendorf Orders
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中文总结 AI 辅助
本文研究 Hagendorf 序型的存在性，简化了 Larson 关于其非散布性的证明，并证明在 BA、MA_ℵ₁ 等模型下其存在性一致，且可从 ◇ 和 PFA 构造实数上的实例，为四十余年悬而未决的问题取得突破。
中文摘要 AI 辅助
称一个线性序型 $\varphi$ 为 Hagendorf 型，如果它与加法不可分解的序数共享两个性质，但自身并非加法不可分解序数：$\varphi$ 是严格右不可分解的，并且每当 $\psi < \varphi$ 时，$\psi$ 可以嵌入到 $\varphi$ 的某个真初始段中。20 世纪 70 年代，J. Hagendorf 提出是否存在这样的序型的问题。F. Galvin 观察到它们必定是不可数的，此后不久，J. Larson 证明了它们不可能是散布的。我们对其论证提供了一个简化，这可能为 $\sigma$-散布情形提供额外见解。然后我们证明，在一致性的意义下，Hagendorf 序型存在，并且这在许多集合论模型中成立，例如在 $\mathsf{BA}$ 或 $\mathsf{MA}_{\aleph_1}$ 之下。事实上，它们的不存在性具有大基数强度。此外，我们从 $\diamondsuit$ 和 $\mathsf{PFA}$ 构造了实数上的 Hagendorf 序型。这标志着自 Larson 在四十多年前描述该问题以来，这一有趣问题首次取得进展。
英文摘要
Call a linear order type $φ$ Hagendorf if it shares two properties with additively indecomposable ordinal numbers without being one itself: $φ$ is strictly indecomposable to the right and whenever $ψ< φ$, then $ψ$ can be embedded into a proper initial segment of $φ$. In the 1970s, J. Hagendorf asked whether such types exist. F. Galvin observed that they must be uncountable, and soon thereafter, J. Larson proved that they cannot be scattered. We provide a simplification of her argument that might give additional insight into the $σ$-scattered case. We then show that consistently Hagendorf types exist and that this holds in many models of set theory, for instance under $\mathsf{BA}$ or $\mathsf{MA}_{\aleph_1}$. In fact, their non-existence has large cardinal strength. Furthermore, we construct real Hagendorf types from $\diamondsuit$ and from $\mathsf{PFA}$. This marks the first progress on this interesting problem since its description by Larson four dozen years ago.
