发表机构
Shandong University（山东大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
该研究解决了Rademacher奇异性猜想，证明了离散随机矩阵奇异概率的尖锐上界，并推广到一般离散分布，方法结合随机性反转与傅里叶平均。
AI 中文摘要
我们解决了Rademacher奇异性猜想：一个$n\times n$的独立均匀$\{-1,1\}$元素矩阵以概率$(2+o(1))n^22^{-n}$是奇异的。更一般地，对于元素独立且均匀取自固定集合$S\subset\mathbb{R}$（基数为$q\ge2$）的$n\times n$矩阵$M_n$，我们证明对于所有$n\ge1$，$z\ge0$和$\varepsilon>0$，有$\mathbb{P}(s_n(M_n)\le z/\sqrt{n}) \le Cz+a_n(S)+C'n^{1+\varepsilon}q^{-n}$，其中$C=C(S)$，$C'=C'(S,\varepsilon)$。这里$s_n$表示最小奇异值，$a_n(S)$累加了零行或零列以及相等或相反行或列的概率。该证明结合了随机性反转和在$q^n$的多项式因子范围内的尺度上进行傅里叶平均。
英文摘要
We resolve the Rademacher singularity conjecture: an $n\times n$ matrix with independent uniform $\{-1,1\}$ entries is singular with probability $(2+o(1))n^22^{-n}$. More generally, for an $n\times n$ matrix $M_n$ with independent entries uniform on a fixed set $S\subset\mathbb{R}$ of cardinality $q\ge2$, we prove $\mathbb{P}(s_n(M_n)\le z/\sqrt{n}) \le Cz+a_n(S)+C'n^{1+\varepsilon}q^{-n}$ for all $n\ge1$, $z\ge0$, and $\varepsilon>0$, with $C=C(S)$ and $C'=C'(S,\varepsilon)$. Here $s_n$ denotes the least singular value, and $a_n(S)$ sums the probabilities of zero rows or columns and equal or opposite pairs of rows or columns. The proof combines inversion of randomness with Fourier averaging at scales within a polynomial factor of $q^n$.
