发表机构
National University of Singapore; University of Copenhagen（新加坡国立大学; 哥本哈根大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
针对双方边划分模型中的边着色问题，提出一种公共硬币 Las Vegas 协议，同时降低颜色数至 $(1+\varepsilon)\Delta$ 和通信量至 $o(n)$ 或 $O(1)$，核心是新的随机着色过程与通信高效的构造性 Lovász 局部引理。
AI 中文摘要
我们研究双方边划分模型中的边着色问题，其中 Alice 和 Bob 各自知道边集的一部分，并且必须通过少量通信共同产生一个正常着色。先前的工作给出了一个使用 $O(n)$ 比特的确定性 $(2\Delta-1)$-边着色协议，留下了是否能高效获得更少颜色的问题。我们同时减少了颜色数量和通信量。对于每个固定的 $\varepsilon>0$ 和所有足够大的 $\Delta$，我们给出一个公共硬币 Las Vegas 协议，该协议使用 $O(ne^{-\gamma\Delta} + 1)$ 期望比特和 $O\left(\frac{\log n}{\Delta}+1\right)$ 期望轮次找到一个正常的 $(1+\varepsilon)\Delta$-边着色，其中 $\gamma>0$ 仅依赖于 $\varepsilon$。因此，当 $\Delta=\omega(1)$ 时期望通信量为 $o(n)$，当 $\Delta\ge C_\varepsilon\log n$ 时期望通信量为 $O(1)$，其中 $C_\varepsilon$ 是足够大的常数。仅使用私有硬币会增加 $O(\log n)$ 期望比特。我们的关键思想是一个新的随机着色过程，它允许 Alice 和 Bob 在仅需少量协调的情况下使用基本相同的颜色空间来着色他们的边，因此他们的大多数随机选择保持私有。为了使该过程成功，我们为双方开发了一个通信高效的构造性 Lovász 局部引理（LLL）。我们的双方构造性 LLL 也具有独立意义。我们通过将其应用于其他几个经典问题的标准 LLL 表述来说明其更广泛的适用性，从而获得通信高效的双方协议。
英文摘要
We study edge coloring in the two-party edge-partition model, where Alice and Bob each know part of the edge set and must jointly produce a proper coloring with little communication. Previous work gave a deterministic $(2Δ-1)$-edge-coloring protocol using $O(n)$ bits, leaving open whether fewer colors can be obtained efficiently. We simultaneously reduce both the number of colors and the communication. For every fixed $\varepsilon>0$ and all sufficiently large $Δ$, we give a public-coin Las Vegas protocol that finds a proper $(1+\varepsilon)Δ$-edge coloring using $O(ne^{-γΔ} + 1)$ expected bits and $O\left(\frac{\log n}Δ+1\right)$ expected rounds, where $γ>0$ depends only on $\varepsilon$. Thus, the expected communication is $o(n)$ when $Δ=ω(1)$ and $O(1)$ when $Δ\ge C_\varepsilon\log n$, for a sufficiently large constant $C_\varepsilon$. Using only private coins adds $O(\log n)$ expected bits. Our key idea is a new randomized coloring procedure that allows Alice and Bob to color their edges using essentially the same color space with only a small amount of coordination, so most of their random choices remain private. To make this procedure succeed, we develop a communication-efficient constructive Lovász local lemma (LLL) for two parties. Our two-party constructive LLL is also of independent interest. We illustrate its broader applicability by applying it to standard LLL formulations of several other classical problems, obtaining communication-efficient two-party protocols.
